(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1.下列六个关系式：①{a ，b }⊆{b ，a }；②{a ，b }＝{b ，a }；③{0}＝∅；④0∈{0}；⑤∅∈{0}；⑥∅⊆{0}．其中正确的个数为________．
解析：①②④⑥是正确的．
答案：4
2.下列各对象可以组成集合的是________．
①与1非常接近的全体实数；
②某校2013～2014学年度第一学期全体高一学生；
③高一年级视力比较好的同学；
④与无理数π相差很小的全体实数．
解析：据集合的概念判断，只有②可以组成集合．
答案：②
3.已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{0，2}，则(∁U A )∩B ＝________.
解析：∁U A ＝{0，1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．
答案：{0}
4.集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________．
解析：∵A ∪B ＝{0，1，2，a ，a 2}，又A ∪B ＝{0，1，2，4，6}，
∴{a ，a 2}＝{4，16}，∴a ＝4.
答案：4
5.设集合A ＝{－1，4，8}，B ＝{－1，a ＋2，a 2＋4}，若A ＝B ，则实数a 的值为________．
解析：∵A ＝B ，
∴①⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝4a 2＋4＝8或②⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋2＝8a 2＋4＝4， 由①得a ＝2，此时B ＝{－1，4，8}满足题意，
②无解，∴a ＝2.
答案：2
6.已知集合A ＝{3，m 2}，B ＝{－1，3，2m －1}，若A ⊆B ，则实数m 的值为________．
解析：∵A ⊆B ，∴A 中元素都是B 的元素，即m 2＝2m －1，解得m ＝1.
答案：1
7.若集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |x <m }满足A ∪B ＝R ，A ∩B ＝∅，则实数m ＝________.
解析：结合数轴知，当且仅当m ＝3时满足A ∪B ＝R ，A ∩B ＝∅.
答案：3
8.设集合A ＝{1，4，x }，B ＝{1，x 2}，且A ∪B ＝{1，4，x }，则满足条件的实数x 的个数是________． 解析：由题意知x 2＝4或x 2＝x ，所以x ＝0，1，2，－2，经检验知x ＝0，2，－2符合题意，x ＝1不符合题意，故有3个．
答案：3
9.已知集合M ⊆{4，7，8}，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有________个．
解析：M 可以为∅，{4}，{4，7}，{8}，{8，7}，{7}．
答案：6
10.已知集合A ＝{x |y ＝ 1－x 2，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则A ∩B 为________．
解析：由1－x 2≥0得，－1≤x ≤1，
∵x ∈Z ，∴A ＝{－1，0，1}．
当x ∈A 时，y ＝x 2＋1∈{2，1}，即B ＝{1，2}，
∴A ∩B ＝{1}．
答案：{1}
11.集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，Q ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则P ∩Q ＝________.
解析：P ∩Q ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＝2，}＝{(x ，y )|⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝－1，}＝{(1，－1)}． 答案：{(1，－1)}
12.设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q}，若P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{x | x ＋12<2，x ∈R }，则P －Q ＝________.
解析：由定义P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q}，求P －Q 可检验P ＝{1，2，3，4}中的元素在不在Q ＝{x | x ＋12
<2，x ∈R }中，所有在P 中不在Q 中的元素即为P －Q 中的元素，故P －Q ＝{4}．
答案：{4}
13.设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P*Q ＝{z |z ＝ab ，a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－
2，2}，则集合P*Q 中元素的个数是________．
解析：按P*Q 的定义，P*Q 中元素为2，－2，0，共3个．
答案：3
14.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
解析：不含“孤立元”的集合就是在集合中有与k 相邻的元素，故符合题意的集合有：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．
答案：6
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，集合B ＝{x |3<x <9}．
求(1)∁U (A ∪B )；(2)A ∩∁U B .
解：(1)∵A ∪B ＝{x |2≤x <9}，
∴∁U (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥9}．
(2)∵∁U B ＝{x |x ≤3或x ≥9}，
∴A ∩∁U B ＝{x |2≤x ≤3}．
16.(本小题满分14分)设全集U ＝{2，4，－(a －3)2}，集合A ＝{2，a 2－a ＋2}，若∁U A ＝{－1}，求实数a 的值．
解：由∁U A ＝{－1}，可得⎩
⎪⎨⎪⎧－1∈U ，
－1∉A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－（a －3）2＝－1，a 2－a ＋2≠－1，
解得a ＝4或a ＝2. 当a ＝2时，A ＝{2，4}，满足A ⊆U ，符合题意；
当a ＝4时，A ＝{2，14}，不满足A ⊆U ，故舍去．
综上，a 的值为2.
17.(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，求实数p 的取值范围．
解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x ≤5，
故A ＝{x |－2≤x ≤5}．
①当B ≠∅时，即p ＋1≤2p －1⇒p ≥2.
由B ⊆A 得：－2≤p ＋1且2p －1≤5，解得－3≤p ≤3.
∴2≤p ≤3.
②当B ＝∅时，即p ＋1>2p －1⇒p <2.
由①②得p 的取值范围是p ≤3.
18.(本小题满分16分)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }．
(1)若A 是空集，求a 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求a 的值；
(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．
解：(1)若A 是空集，则方程ax 2－3x ＋2＝0没有根，则
a ≠0且Δ＝9－8a <0，即a >98
. (2)若A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0有一个根，
①当a ≠0且Δ＝9－8a ＝0时，则a ＝98
； ②当a ＝0时，方程为－3x ＋2＝0，只有一个根．
综上，a ＝0或98
. (3)若A 中至多只有一个元素，则A 是空集或A 只有一个元素，故a ＝0或a ≥98
. 19.(本小题满分16分)某班50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？
解：设全集U ＝{某班50名学生}，A ＝{会讲英语的学生}，B ＝{会讲日语的学生}，A ∩B ＝{既会讲英语又会讲日语的学生}，则由韦恩图知，既不会英语又不会日语的学生有：50－22－14－6＝8(人)．
20.(本小题满分16分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －8＝0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋a 2－12＝0}，若A ∪B ≠A ，求实数a 的取值范围．
解：若B ∪A ＝A ，则B ⊆A ，又A ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2，4}，
所以集合B 有以下三种情况：
①当B ＝∅，有Δ＝a 2－4(a 2－12)<0⇒a 2>16⇒a <－4或a >4；
②当B 是单元素集合时，有Δ＝0⇒a 2＝16⇒a ＝－4或a ＝4.
若a ＝－4，则B ＝{2}⊄A ，若a ＝4，则B ＝{－2}⊆A ；
③当B ＝{－2，4}时，有－2，4是关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－12＝0的两根 ⇒⎩
⎪⎨⎪⎧－2＋4＝－a （－2）×4＝a 2－12⇒a ＝－2. 此时，B ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2，4}⊆A .
综上可知，B ∪A ＝A 时，实数a 的取值范围是a <－4或a ≥4或a ＝－2. 所以B ∪A ≠A 时，实数a 的取值范围为－4≤a <4，且a ≠－2.。