求子群时，根据因子，因子是几就隔几写出子群的各
个元素。
三、凯莱表示定理
定理12：每一个n阶有限群, 同构于n次置换群。 证明： 设k=mq+r, 0≤r＜m,设<G,*>是一个n阶群, 由定理6.7-4知道, <G,*>的合 成表中每一行和列都是G的一个置换。对应于元素a∈G的列的置换是 pa(x) = x * a 记对应于G的所有元素的列的置换集合为P。 下面首先证明<P,◇>是一个群，再证明G与P同构。 (a) 封闭性 对任意元素a、b∈G, 有 (pa◇pb)(x) = (x * a) * b =x * (a * b) =pa*b(x)∈P (1) (b) 存在幺元 设e是<G , *>的么元, a∈G是任一元素,则有 pe◇pa = pa◇pe = pa，所以, pe是么元。 (c) 存在逆元 对任意元素a∈G, 存在元素a-1∈G,有 Pa-1◇ pa = pa◇ Pa-1 = pe，所以, 对任一pa存在逆元Pa-1 。 (d) 满足结合律 置换的合成满足结合律。
3 1
1 2 3 p5 2 3 1
1 2 p6 3 1
3 2
一、置换群
例2 两面体群 (a) 给定正三角形123(如左下图所示), 将三角形围绕重心O旋 转, 分别旋转0°, 120°, 240°。可以把每一旋转看成是三 角形的顶点集合{1, 2, 3}的置换, 于是有
1 2 3 4 p 3 2 4 1
A={a1,a2,…,an}，即|A|=n时，称为A上的置换为n次置换。A上 的n次置换p可表示为：
a2 an a1 p p(a ) p(a ) p(a ) 1 2 n
一、置换群
|A|=n时，A上有 n!个n次置换, 如A={1,2,3}时,
定理11证明：(b)若G是有限集且|G|=k,则<G,*>与<Nk, +k>同构。 因为G是有限循环群,且|G|=k,故可设 G = { g0, g1, g2, …, gk-1} 作映射f: G→Nk, f(gi)=[i] Nk= {[0], [1], [2], …,[k-1]}
(i)证明f是双射函数 f是单射 : 任取gt, gh∈G, 若gt≠ gh,则必有[t]≠[h]。假如[t]=[h],则t-h=mk,
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 ◇ 2 3 1 2 1 3
一、置换群
不难验证： (右合成运算：◇, p1◇p2, 先p1置换, 再p2置换)
(1) <Sn, ◇>是一个代数；
(2) <Sn, ◇>是一个群。 给定集合A, (1) Sn关于运算◇封闭 (2) A上所有置换对运算◇而言满足结合律 (3) Sn关于运算◇存在么元—恒等置换，恒等函数，又称 么置换 (4)每一置换都有逆置换——逆函数 所以<Sn, ◇>是一个群。
1 2 3 p6 3 1 2
一、置换群
<S3,◇>为三次对称群,其运算表如下表所示:
1 p1 1
1 p4 1
2 2
2 3
3 3
3 2
1 2 p2 2 1
3 3
1 2 p3 3 2
<{p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8},◇>构成一个四次8阶置换群。
二、循环群
循环群的定义
在群<G, *>中,如果存在一个元素g∈G, 对于每一个元素 a∈G都
有一个相应的正整数i∈I, 能把a表示成gi形式, 则称<G , *>是一 个循环群，g是该循环群的生成元。
定理9：任何一个循环群必定是阿贝尔群(可交换群)。
1 2 3 (旋转0) p1 1 2 3 1 2 3 (旋转120) p5 2 3 1 1 2 3 (旋转240) p6 3 1 2
一、置换群
例2 两面体群(续) 再将三角形围绕直线 1A 、 2B 、 3C 翻转。又得到顶点集合的 置换:
1 2 3 p3 3 2 1
1 2 3 p4 1 3 2
1 2 3 p5 2 3 1
p1为恒等置换，p2-1＝p2，p3-1＝p3 ，p4-1＝p4 ，p5-1＝p6 • < S3 , ◇>为三次对称群 • < {p1,p2}, ◦ >为2阶三次置换群 • < {p1,p5,p6}, ◦ >为3阶三次置换群
(绕BB' 翻转)
(绕13翻转)
(绕24翻转)
一、置换群
这不是对称群, 元素没有4!个, 是一置 换群。一般地说 , 在合成运算◇作用 下, n边正多边形的所有旋转和翻转的 例2 两面体群 (续) 集合构成一个n次的2n阶的置换群, 这 类群通称两面体群。 正方形的翻转和旋转在合成运算下可构成群 , 如下表所示。
1 2 3 p1 1 2 3 1 2 3 p4 1 3 2 1 2 3 p2 2 1 3 1 2 3 p5 2 3 1 1 2 3 p3 3 2 1 1 2 3 p6 3 1 2
(旋转90)
1 2 3 4 p5 4 3 2 1
(绕AA' 翻转)
1 2 3 4 (旋转180) p6 2 1 4 3 1 2 3 4 (旋转270) p7 1 4 3 2 1 2 3 4 (旋转360) p8 3 2 1 4
1 2 3 (绕3C翻转) p2 2 1 3 1 2 3 (绕2 B翻转) p3 3 2 1 1 2 3 (绕1 A翻转) p4 1 3 2
正三角形的旋转和翻转在合成运算下可构成群, <S3, ◇>就代表这个群。
一般地， |A|=n时，记A上所有置换集合为Sn, |Sn|=n! 置换的合成运算： 左合成运算： ◦, p1 ◦ p2, 先进行p2置换, 再进行p1置换。 右合成运算：◇, p1◇p2, 先进行p1置换, 再进行p2置换。
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1
i j (1) (1) (1) (1) j (11 ) j 1 j 1i
j个
生成元为-1,可类似地讨论
二、循环群
例3 (2) <Nk, +k, [0]>是有限阶循环群(k＞0)； Nk={[0],[1],…,[k-1]}，[x]是I中模k等价类。+k定义为: [x]+k[y] =(x+y)mod k。 可验证：封闭，可结合，么元[0] ，∀[i]∈Nk,存在逆元[k-i] 生成元为[1]；故<Nk，+k ，[0]>是有限阶循环群。
i 0 i (0 i k ), [i ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] ([ 1 ]) , 其中 [ 0 ] ([ 1 ]) i个
例如k=4时, 这个群如右表 所示, 其中[0]是么元, [1]或 [3]是生成元。
定理11说明，循环群只 有两类：无限循环群和 定理11：设<G,*>是由g∈G为生成元的循环群。 k阶循环群
t=h+mk,gt = gh+mk =gh*(gk)m = gh* (e)m = gh ,这与gt≠ gh相矛盾。
容易看出f满射，所以f是双射。 (ii)证明f从G到I运算保持。任取x,y∈G, ∃i,j∈ I,使得x=gi, y=gj有f(gi * gj)=f(gi+j)= [i+j]=[i] +k [j]=f(gi) +k f(gj)。 (iii)幺元相对应。 f(g0)=[0] 综上所述，f是<G,*>到<I,+>的同构映射。
二、循环群
例3 (1) <I,+>是无限阶循环群；
封闭，可结合，么元0，∀x∈I,存在逆元 x-1=-x 生成元为1，-1； 故<I,+>是无限阶循环群。 对生成元为1， ∀i∈I,
(1) i>0 (2) i=0, 0=10
i i 1 1 1 1 i个
(3) i<0, 令i=-j,
证明： 设<G,*>是一个循环群，它的生成元为g,那么对于任意的a, b∈G,
必有i, j∈I,使得
gi=a, gj=b 那么a*b=gi*gj=gi+j=gj+i=gj*gi=b*a，因此，<G,*>是一个阿贝尔群。
二、循环群
定理10：设<G, *>是由g∈G生成的有限循环群, 如果|G|=n,则gn=e, G ={g, g2, g3, …, gn=e}且n是使gn=e的最小正整数。 证明：
(1)先证gm=e而m＜n是不可能的。 假定有正整数m＜n使 gm=e, 则对G中任一元素gk, 设k=mq+r, 0≤r＜m, 于 是 gk = gmq+r = (gm)q * gr = e* gr = gr 这意味着G中每一元素都可写成gr形式, 但r＜m, 所以G中至多有m个不同 元素, 这与|G|=n矛盾。所以gm=e而m＜n是不可能的。 (2)再证{g, g2, g3, …, gn}⊆G中的元素全不相同。 若不然有gi=gj, 不妨设i＜j, 于是gj-i=e。但j-i＜n, 这与(1)相矛盾。 由于<G,*>是群, 其中必有么元, 由(2)得G= {g, g2, g3, …,gn},又由(1)得gn =e。