第五章 狭义相对论习题5-1 洛仑兹变换中引入的参数γ及其倒数1/γ的大小直接体了三个重要的相对论效应—长度收缩、时间膨胀以及质量增加的显著程度。

计算 v/c= 0.0，0.1，0.5，0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999时的γ及其倒数的数值，以建立起对于相对论效应的定量认识。

解：5-2 静止的自由粒子-中子的平均寿命为15分钟，它自发的蜕变为电子，质子和中微子，试问一个中子必须以多大的平均最小速度离开太阳，才能在蜕变之前到达地球。

解：中子为S ’系，地球是S 系。

太阳与地球间的平均距离m 1110495.1r ×=s 900't =ΔQ t v r Δ≤Q,2c 2v 1't t −Δ=Δ∴ r 2c 2v 1't v t v ≥−Δ=Δc 2r 2't 2c 2r v ⋅+Δ≥ c 50.0v ≥∴004472.0 6070.223 99999.001414.0 7120.70 9999.004471.0 3660.22 999.01411.0 0888.7 99.04359.0 2942.2 9.08660.0 1547.1 5.00.1 0.1 0.01 c V γγ5-3 设K’系以恒定速率相对K 系沿XX’轴运动，在K 系中观察到有两个事件发生在某一地点，其时间间隔4.0秒，从K’系中观测到这两个事件的时间间隔6.0秒，试求从K’系测量到这两个事件的空间间隔是多少？解：同一地点不同时刻 s 0.6't ,s 0.4t =Δ=Δ即 2c 2v 1t't −Δ=Δ 2c 95 2v ;2v 2c 2c 49=⇒+=∴ 而在K’系中2c 2v 1)1vt x ('1x −−=2c 2v 1)2vt x ('2x −−=921'' 1.3410x x m −==× 不是同一点5-4 一火箭以0.8c 的相对速度经过地球朝月球飞去，(1) 按地球上的观察者来看，从地球到月球的旅程需多长时间？(2) 按火箭上的乘客来看，地-月距离多大?(3) 按火箭上乘客来看，这旅程需多长时间？解：对于地球上的观察者来看： l 地-月=3.84×108m ，,c 8.0v =Q ()s 6.181038.081084.3v c t =×××==Δ∴ 对于火箭上的观察者来看,长度缩短：)m (8103.2l 6.0l 2c 2v 1l ×==−=′∴ )s (96.08108.08103.2v l t =××=′=′Δ∴5-5 一个质子得到了相当于它的静止能量100倍的动能，试求这个质子的速度和动量。

解： 2c 0m 100)2c 0m 2c 2v 12c 0m (2c 0m 2mc k E =−−=−= 2c 2v 11011−×=∴c 99995.0v =)1s m kg (171001.5v 2c 2v 10m p −⋅⋅−×=−=5-6 一个电子从静止开始，加速到0.1c 的速度，需要对它做多少功？速度从0.9c 加速到0.99c 又要做多少功？解：2c 0m )12c 2v 11(2c 0m 2mc W −−=−=)eV (91058.2)J (16101.4×=−×=2c 21v 112c 22v 11[2c 0m 2c 1m 2c 2m k E W −−−=−=Δ=)eV (61045.2)J (1310927.3×=−×=5-7*地球大气层每分钟接受的太阳能平均值约为8.4×104焦耳/米2,（1）求太阳每分钟辐射的总能量；已知太阳与地球的距离是1.5 × 1011米;（2)求每分钟太阳质量的减少量;(3)计算太阳在4 × 109年内的质量减少量所占的比率，这段时间间隔是太阳年龄的近似值。

解：因为地球大气层没分钟接收太阳能平均值为8.4×104J/m2，所以每秒钟接收太阳能1.4×103J/m2。

太阳辐射的总能量（每秒）为：5-7一列行进中的火车的车头和车尾遭一次雷，车上的人看来两次雷击是同时发生的，地面上的人看来是否同时？若不同时，何处雷击在先？答：雷电放电时，不同的电荷通过一定的闪电通道相互中和，产生强烈的光和热，发出的强光称之为“闪”，放出的热能使闪电通道周围的空气突然膨胀，产生极大的轰鸣声称之为“雷”。

所以我们认为雷电的放电后以光速传播。

由于车上的人看到两次雷击同时发生，所以放电源在车头和车尾之间。

在研究地面上的人看雷击过程的时候，首先我们要考察火车的行进速度：如果火车的速度远远小于光速，我们不需要考虑相对论效应。

那么，地面上的人看来，两次雷击也是同时发生的。

如果火车的速度非常非常地快，可以和光速相比拟，那么我们需要考虑相对论效应。

此时，两次雷击不是同时发生的。

此时与课上讨论的爱因斯坦火车中间闪光发出，何时到达车头和车尾类似。

由于雷电放电后火车在前进，因此车尾比车头先遭到雷击。

5-8 使用反证发说明垂直于相对运动方向的长度测量与运动无关的。

（提示：假设反命题成立，利用一个假想的物理过程说明结果的不可行性。

）答：假设垂直于运动方向的长度测量与运动有关。

一列火车静止时的高度为h0，以速度v 运动的火车的高度为hv 。

假设有一座与火车同高度的山洞，那么同样山洞静止时的高度为h0，以速度v 运动时的高度为hv 。

那么我们知道，当火车一非常缓慢的速度运动时，火车刚刚好可以通过山洞。

对于以高速v 运动的火车，如果垂直于运动方向的长度测量与运动有关，假设（1）运动的垂直高度变小，即hv< h0。

此时对于火车上的观察者来说，火车时静止的，而山洞是以速度-v 运动的，那么山洞的高度变成了hv ，而根据假设hv< h 。

，则在火车上的观察者看来，由于火车的高度高于山洞，所以火车不能通过山洞。

这与事实相违背。

（2）运动的垂直高度变大，即hv> h0。

此时对于地面上的观察者来说，火车是运动的，告诉为hv ，而山洞是静止的，高度为h0。

而根据假设hv> h0，所以在地面观察者来看，火车高于山洞，所以火车不能通过山洞。

这与事实相违背。

综合（1）、（2），可知原假设“垂直于运动方向的长度测量与运动有关”是错误的。

231124 1.4104(1.510)E W r ππΔ=Δ⋅=×××2612813.9610() 2.3810(min )E J S J −−Δ=×⋅=×⋅5-9 垂直于相对运动方向长度测量与运动无关，那么为什么在这个方向上的速度分量却又和运动有关呢？答：虽然垂直于相对运动方向上的长度测量与运动无关，但是由于时间的测量与运动有关，所以，垂直于运动方向上的速度分量与运动有关。

5-10 甲在以v 运动的K /坐标系中，在t /=0时测得处于静止的棒两端点的坐标为x1和x2，那么乙站在实验室参考系中，棒常是多少呢？有人说，x １=γ(x 1′-vt′)， x ２=γ(x 2′-vt′)， 解得 x ２-x １=l=γ(x 2′-x 1′)=γl′从而得出运动的棒看来变长了，你认为他错在那里?答：无论在任何坐标系中测量长度，必须是同时测量棒的两端。

而本题中乙并未在同一时间测量棒的两端。

5-11 在K 惯性系统中A 事件先于B 事件发生，在另一个惯性系K 中是否总是A 事件先于B 事件发生呢？在什么条件下，结论是肯定的？答：不一定。

在相对论近似下（惯性系K’相对于惯性系K 的速度与光速可以比拟），在惯性系k 中，事件A 先于事件B 发生，在另一惯性系K’中，可能事件A 和事件B 同时发生。

只有在非相对论近似下，事件A 也一定先于事件B 发生。

5-12 参见例5.3题，试讨论固有时间和固定长度与时间间隔s 之间的联系。

答：在某一参考系中，同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔叫固有时间。

静止时测得的长度称为固有长度。

根据例 6.3，时空间隔：2/12212212212212])()()()([z z y y x x t t c s −−−−−−−=，其中，),,,(1111z y x t 和),,,(2222z y x t 分别为两事件的时空坐标。

分别选择两个参照系：参照系一，静止参照系，则固有长度为：2/12212212210])()()[(z z y y x x l −+−+−= 参照系二，运动参照系，相对于静止参照系的速度为v .设在此参照系中，这两个事件发生在同一地点，那么这两件事发生的时间间隔为固有时间，即：v z z y y x x t t /])()()[(2/122122122121−+−+−=−=τ综合上述三公式，得时空间隔和固有长度以及固有时间之间的关系：202222l v c s −=τ5-13 试说明经典力学中的变质量 问题（如火箭问题）和相对论中的质量变化有何不同。

答：经典力学中的变质量与相对论中的质量变化是完全不同的，完全是两回事。

经典力学中，所谓的变质量，实际上质量并未变化，只是我们考察的部分质量发生了变化。

实际上是质量的转移问题。

而相对论中的质量变化，我们考察的是同样的物体，这个物体在速度不同时，具有不同的表观质量。

5-14 能把一个粒子加速到光速吗？为什么？答：不能。

对于真空中的粒子，无论如何，也不可能加速到光速。

光速是真空中粒子速度的极限。

如果粒子在真空中的速度达到光速，那么β=1，γ=1/0，也就是分母为0。

5-15 试说明普通炸弹和原子弹爆炸是碎片动能的来源有何不同。

答：普通炸弹爆炸时，炸弹碎片的动能来自于炸药的化学能；而原子弹爆炸时，炸弹碎片的动能来自于原子核系统的静质量的减少，即来自静能。