第四章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1. 集合M ＝{x |x ＝sin n π，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝cos n π，n ∈N }，则M ∩N 等于( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{0}D ．∅答案 C解析 ∵M ＝{x |x ＝sin n π3，n ∈Z }＝{－3，0，3}， N ＝{－1,0,1}， ∴M ∩N ＝{0}．应选C.2．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C 17 D ．－7答案 A解析 ∵α∈(π2，π)，∴tan α＝－34. ∴tan(α＋π4)＝－34＋11＋34＝17. 3. 已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列命题正确的是 ( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 答案 B解析 f (x )＝－cos πx －1，周期为2，且为偶函数，故选B.4．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图像向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为( )A ．1，π3 B ．1，－π3 C ．2π3 D ．2，－π3答案 D解析 由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π3＋π3)＋φ＝π.∴φ＝－π3.故选D.5．函数y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π3)的一条对称轴为( )A ．x π3 B ．x ＝π6 C ．x ＝－π3 D ．x ＝－5π6答案 C解析 y ＝2sin(x －π)＋cos(x ＋π) ＝2sin(x －π6)＋sin[π2－(x ＋π3)] ＝2sin(x －π6)＋sin(π6－x )＝sin(x －π6)． 方法一 把选项代入验证．方法二 由x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π＋23π(k ∈Z )． 当k ＝－1时，x ＝－π3.6．如图，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面为2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos π6t ＋10 B ．h ＝－8cos π3t ＋10 C ．h ＝－8sin πt ＋10 D ．h ＝－8cos πt ＋10答案 D解析 排除法，由T ＝12，排除B ，当t ＝0时，h ＝2，排除A 、C.故选D. 7．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0<x <π)，下列结论正确的是 ( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值也无最小值 答案 B解析 令t ＝sin x ，则函数f (x )＝sin x ＋a sin x x <π)的值域为函数y ＝1＋at ，t ∈(0,1]的值域，又a >0，所以y ＝1＋at ，t ∈(0,1]是一个减函数．故选B.8．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507 min B.157 h C ．21.5 min D ．2.15 h答案 A解析 如右图：设t 小时甲行驶到D 处AD ＝10－4t ， 乙行驶到C 处AC ＝6t ，∵∠BAC ＝120°， DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100. 当t ＝514 h 时DC 2最小，DC 最小，此时t ＝514×60＝1507 min.9．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B ，那么△ABC 一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析 C ＝π－(A ＋B )，B ＋C ＝π－A .有sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B . 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0，则A ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形．故选B.10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k ππ3，k π＋π6](k ∈Z ) B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z ) D ．[k ππ2，k π](k ∈Z ) 答案 C解析 因为当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，所以f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6.因为f (π2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin(2x －5π6)，函数的单调递增区间为－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，所以x ∈[k ππ6，k π＋2π3](k ∈Z )，故选C.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.答案 35解析 由角θ的终边在直线y ＝2x 上可得tan θ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 12．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 答案 π2解析 法一：f (x )＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝1＋cos 4x －cos 2x ＝1＋cos 2x (cos 2x －1)＝1－cos 2x ·sin 2x ＝1－14sin 22x ＝114(1－cos4x 2)＝78＋18cos4x . 法二：f (x )＝(sin 2x )2＋cos 2x ＝(1－cos2x 2)2＋1＋cos2x234＋14cos 22x ＝78＋18cos4x .13．已知等腰△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ＋a ，c －a )，若p ∥q ，则角A 的大小为________．答案 30°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b ＋a )，即－ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12.因为0°<C <180°，所以C ＝120°.又由△ABC 为等腰三角形得A ＝12(180°－120°)＝30°.141＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos2α＋tan2α＝________.答案 2 012解析 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2αsin α＋cos αcos α－sin α＝tan α＋11－tan α＝2 012. 15．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.若AC ＝2AB ，则BD ＝________.答案 2 5解析 如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则由题可知BD ＝13a ，CD ＝23a ，所以根据余弦定理可得b 2＝(2)2＋(23a )2－2×2×23a cos45°，c 2＝(2)2＋(13a )2－2×2×13a cos135°，由题意知b ＝2c ，可解得a ＝6＋35，所以BD ＝13a ＝2＋ 5.16．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }．③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点． ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6得到y ＝3sin2x 的图像． ⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①④解析 考查①y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，所以最小正周期为π. ②k ＝0时，α＝0，则角α终边在x 轴上．③由y ＝sin x 在(0,0)处切线为y ＝x ，所以y ＝sin x 与y ＝x 图像只有一个交点． ④y ＝3sin(2x ＋π3)图像向右平移π6个单位得 y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin2x .⑤y ＝sin(x －π)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解析 由cos2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 所以f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π2＋π4，k ∈Z }． 因为f (x )的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝6cos 4(－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－2x )6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝f (x )， 所以f (x )是偶函数． 当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时，f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝(2cos 2x －1)(3cos 2x －1)cos2x ＝3cos 2x －1，所以f (x )的值域为{y |－1≤y <12或12<y ≤2}．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋sin(π2－2x )．求： (1)f (π4)的值；(2)f (x )的最小正周期和最小值； (3)f (x )的单调递增区间．答案 (1)1 (2)π，－2 (3)ëêéûúù－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )解析 (1)f (π4)＝2sin π4cos π4＋sin(π2－2×π4) ＝22×2＋0＝1.(2)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2(2sin2x ＋2cos2x ) 2(sin2x cos π＋cos2x sin π)＝2sin(2x ＋π)． 所以最小正周期为π，最小值为－ 2. (3)π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 3π＋k π≤x ≤π＋k π(k ∈Z )．所以函数的单调递增区间为ëêéûúù－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值； (2)求cos(2A ＋π4)的值． 答案 (1)13 (2)8＋7218解析 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝1. (2)因为cos A ＝1，A ∈(0，π)，所以 sin A ＝1－cos 2A ＝22，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos(2A ＋π4)＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4 ＝(79)22－429×22＝－8＋7218.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2.(1)求角B 的大小；(2)若|BA→－BC →|＝2，求△ABC 面积的最大值． 答案 (1)π3 (2) 3解 (1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2. ∴a 2＋c 2－ac ＝4.∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立． ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4. ∴△ABC 的面积S ＝1ac sin B ＝3ac ≤ 3.∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为 3.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB→·AC →＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4. (1)求bc 的最大值及θ的取值范围．(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值． 解析 (1)∵AB→·AC →＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·cos θ＝8.又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32. 又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16. 而bc ＝8cos θ，∴8cos θ≤16. ∴cos θ≥12.又0<θ<π，∴0<θ≤π3. (2)f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－ 3 ＝3·[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3 3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1. ∵0<θ≤π3，∴π6<2θ＋π6≤5π6.∴12≤sin(2θ＋π6)≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2；当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x ＋m sin(x ＋π4)sin(x －π4)．(1)当m ＝0时，求f (x )在区间[π8，3π4]上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．解析 (1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x12(sin2x －cos2x )＋12＝2sin(2x －π4)＋12.又由x ∈[π8，3π4]，得2x π4∈[0，5π4]，所以sin(2x －π4)∈[－22，1]，从而f (x )22sin(2x －π4)＋12∈[0，1＋22]．(2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m 2x ＝12[sin2x －(1＋m )cos2x ]＋12，由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝4， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 35＝12[45＋(1＋m )35]＋12，得m ＝－2.1．(2011·上海)若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则 ( )A ．E ∩F ＝EB ．E ∪F ＝EC ．E ＝FD ．E ∩F ＝∅答案 A 2．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π3对称的是 ( )A ．y ＝sin(2x －π3)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝sin(2x ＋π6)D ．y ＝sin(x 2＋π6)答案 B解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，排除D ，把x ＝π3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值，故选B.3．函数y ＝tan(πx －π)的部分图像如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝ ( )A ．6B ．4C ．－4D ．－6答案 A解析 由tan(π4x －π2)＝0，得π4x －π2＝k π(k ∈Z )，x ＝4k ＋2(k ∈Z )，结合图形可知A (2,0)，由tan(π4x －π2)＝1，得π4x －π2＝π4＋k π(k ∈Z )，∴x ＝3＋4k (k ∈Z )，结合图形可知B (3,1)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.4．(本小题满分12分)如图(a )，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶．在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ，再行驶a km 到达B 处，测得山脚点O 的方位角是西偏北β.(1)设计一个方案，用测量的数据和有关公式写出计算OE 的步骤；(2)函数f (x )＝a sin(βx ＋φ)的部分图像如图(b )所示，θ＝π6，求塔顶E 到公路的距离．解析 (1)第一步：求OA ，在△AOB 中，∠ABO ＝π－β，∠AOB ＝β－φ，AB ＝a ，由正弦定理，得OA ＝a sin (π－β)sin (β－φ)＝a sin βsin (β－φ)；第二步：求OE ，在Rt △EOA 中，∠EAO ＝θ，∠EOA ＝90°，则OE ＝OA tan θ＝a sin βtan θsin (β－φ). (2)由图像易得a ＝3，β＝π3，φ＝π6，又θ＝π6，则OE 3sin π3tan π6sin (π3－π6)＝ 3.过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ，连接OF ，因为AB ⊥OE ，又OE ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平面EOF ，所以AB ⊥OF .在△AOB 中，∠OAB ＝∠AOB ＝π6，则OB ＝AB＝a 3，在Rt △BFO 中，∠OBF ＝π3，则OF ＝OB sin π3＝3×32＝32，又在Rt △EOF 中，OE ＝3，所以EF ＝OE 2＋OF 2＝(3)2＋(32)2＝212.5．(本小题满分12分)(2010·福建文)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为(12，32)，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：îíìx ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值． 答案 (1)2 (2)0≤θ≤π2，f (θ)最大值2，最小值1解析 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得îïíïìsin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.。