对于 AT， 然有 R( AT ) = R( A). 显
定义 n 阶方阵A ，若 R( A) = n ,称 A 为满秩阵. 满秩阵. 若 R( A) < n ,则称 A为降秩阵. 降秩阵. 定义
Am×n , if R( A) = m ，则称 A 为行满秩阵； 行满秩阵；
if R( A) = n
列满秩阵； ，则称 A 为列满秩阵；
1 −1 1 0 等是A的 阶子式 阶子式; 、 等是 的2阶子式 3 2 1 −4
1 、 、 1 等是 的1阶子式 0 − 等是A的 阶子式 阶子式.
定义2.19 矩阵 的非零子数称作矩阵 定义 的秩. 的秩 记作 R( A)
对于矩阵 Am×n ,显然有 R( A) ≤ min { m , n}
§2.8 矩阵的秩
不同的矩阵有相同的标准形; 不同的矩阵有相同的标准形 一个矩阵可经行初 等变换化为不同的阶梯形矩阵, 等变换化为不同的阶梯形矩阵 但不同的阶梯形矩 阵中非零行的个数却是相同的. 阵中非零行的个数却是相同的 这都是因为矩阵的本质特征— 矩阵的秩 这都是因为矩阵的本质特征——矩阵的秩. 定义2.18 设矩阵 A = (aij )m×n , 称位于 的某 行、 定义 称位于A的某 的某k行 k列的交叉点处的元素依照其原来的相对位置 所构 列的交叉点处的元素 成的k阶行列式为 的 阶子式 阶子式. 成的 阶行列式为A的k阶子式 (1 ≤ k ≤ min{m, n}) 阶行列式为
1 0 −1 2 例1 设A = 3 1 2 0 , 则 1 1 4 −4 1 0 −1 1 0 2 1 −1 2 0 −1 2 3 1 2 、3 1 0 、 3 2 0 、 1 2 0 1 1 4 1 1 −4 1 4 −4 1 4 −4
的全部4个 阶子式 阶子式; 是A的全部 个3阶子式 的全部
2 −1 例3 求 A = − 1 0 3
注1 零矩阵没有非零子式, 规定其秩为零; 零矩阵没有非零子式 规定其秩为零
为 × 矩阵, 为 × 矩阵, 命题2 命题 设A为 m×n 矩阵 B为 n×s 矩阵 则 R(AB) ≤ min{ R(A), R(B)}
例2 设U为 m×n 矩阵, V为 n×m 矩阵，且m > n 为 × 矩阵 为 × 矩阵， 证明 UV = 0 证
ri + kr j
中不含有B的第 阶子式, 若D中不含有 的第 行元素 则D是A的r+1阶子式 中不含有 的第i 元素, 是 的 阶子式 故 D=0. 中含有B的第 则由行列式的性质4和性 若D中含有 的第 行元素 则由行列式的性质 和性 中含有 的第i 行元素,则由行列式的性质 可依第i 质3, D可依第 行拆成两个行列式之和 D=D1+kD2 , 其 可依第 阶子式, 中D1是A的r+1阶子式 的 阶子式 故 D1=0, ⇒ D = kD2 . 中不含有B的第 至多与A的某 当D中不含有 的第 行元素时 则D2至多与 的某 中不含有 的第j 行元素时, 阶子式相差一个负号,从而 个r+1阶子式相差一个负号 从而 阶子式相差一个负号 D=0.
故同理可证 R( A) ≤ R( B ).
⇒ R( A) = R( B ).
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩. 推论 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩 由矩阵A的秩的定义 的秩的定义, 证 由矩阵 的秩的定义 当然有
R( A) = R( AT ).
且对A所作的列初等变换对 T来说则是初等行变换. 且对 所作的列初等变换对A 来说则是初等行变换 所作的列初等变换对 由定理2.7知 它不改变 的秩,从而 的秩亦不改变. 它不改变A 从而A的秩亦不改变 由定理 知,它不改变 T的秩 从而 的秩亦不改变 求矩阵的秩的更有效 比直接利用定义)的方法为 的方法为: 求矩阵的秩的更有效(比直接利用定义 的方法为 更有效 利用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形, 然后数其 利用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形 非零行的行数即得矩阵的秩. 非零行的行数即得矩阵的秩
R (UV ) ≤ min{R (U ), R (V )} m>n
⇒ R (UV ) ≤ n < m ⇒ UV = 0
命题3 命题 设 P,Q 可逆 , 则
R ( A ) = R ( PA ) = R ( AQ ) = R ( PAQ )
由定义2.19知, 要求矩阵 的秩需计算多个行 知 要求矩阵A的秩需计算多个行 由定义 列式的值. 列式的值
1 3 −2 2 求 0 2 −1 3 的秩 0 0 0 0
恰为其非零行的个数. 阶梯形矩阵的秩 恰为其非零行的个数.
定理2.7 矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩 矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩. 定理 只须证明一次初等行变换不改变矩阵的秩.下 证 只须证明一次初等行变换不改变矩阵的秩 下 面只就第(3)种初等行变换进行证明 面只就第 种初等行变换进行证明, 其余两种请同 种初等行变换进行证明 学们下去自行证明. 学们下去自行证明 设 A B , R( A) = r , → D为B的任意一个 阶子式 为 的任意一个 阶子式. 的任意一个r+1阶子式
中含有B的第 当D中含有 的第 行元素时 因D2有两行完全相同 中含有 的第j 行元素时,因 有两行完全相同, 从而 D=0. 综上所述 R( B ) ≤ R( A). 又可经过一次初等行变换变成A,即 而B又可经过一次初等行变换变成 即 又可经过一次初等行变换变成
B A, →
ri − kr j
命题1 矩阵A的秩为 的充要条件是A至少有一个 的秩为r的充要条件是 至少有一个r 命题 矩阵 的秩为 的充要条件是 至少有一个 阶非零子式且全部r+1阶子式 如果有的话 阶非零子式且全部 阶子式(如果有的话 都等于零 阶子式 如果有的话)都等于零 (从而更高阶的子式亦为零 从而更高阶的子式亦为零); 从而更高阶的子式亦为零