∂t ∂ 2t ∂ 2t = a( 2 + 2 ) ∂τ ∂ x ∂ y
答案： 答案：
∂ 2t = -2 y 2 cos x, 2 ∂ x
∂ 2t = 4 cos x 2 ∂ y
∂t = a(-2y 2 cos x+4 cos x)=a cos (4-2y 2 ) ∂τ
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主讲：魏高升 主讲：
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3－59（综合分析），大型加热炉炉底厚 － （综合分析），大型加热炉炉底厚50mm，初 ），大型加热炉炉底厚 ， 温25 ℃ ，a=5*10-7m2/s,导热系数＝4.0W/(mK),点火 导热系数＝ 点火 导热系数 按工艺要求， 后tf=1600 ℃,h=40 W/(m2K),按工艺要求，炉内各表 按工艺要求 面温度均应加热到1500 ℃方可投入使用。 方可投入使用。 面温度均应加热到 开始点火到满足这一条件所需时间。 求：开始点火到满足这一条件所需时间。
* 物体内速度变化的规律
温度变化最慢的点位于物体的体心或形心； 1. 温度变化最慢的点位于物体的体心或形心； 温度变化最快的点位于离物体的体心或形心最远处。 2. 温度变化最快的点位于离物体的体心或形心最远处。
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一内部流动的对流换热实验， 3－4，一内部流动的对流换热实验，用 电阻加热器产生热量加热管道内的流体， 电阻加热器产生热量加热管道内的流体， 加热功率为常数，管道可当平壁对待， 加热功率为常数，管道可当平壁对待， 画出在非稳态加热过程中的温度分布随 时间的变化（包括电阻加热器，管壁， 时间的变化（包括电阻加热器，管壁， 及被加热的管内流体），划出四个时刻： ），划出四个时刻 及被加热的管内流体），划出四个时刻： 初始时刻，稳定状态，两个中间状态。 初始时刻，稳定状态，两个中间状态。 绝热
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* 非稳态导热问题求解思路
1） 首先，用 Bi 检验是否满足集总参数法的条件，若 ） 首先， 检验是否满足集总参数法的条件， 未知，可先假设，然后校核； 性质属于 h 或 δ 未知，可先假设，然后校核； 2）若不能用集总参数法，可采用分析解法 (诺模图法 ）若不能用集总参数法， 诺模图法 和近似公式法 ) ； 3）若 2 ）， 1 ）方法均不能求解，则采用数值解法。 方法均不能求解，则采用数值解法。 ）
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解法2， 解法 ，通过导热微分方程 & ∂t Φ 2 = a∇ t + ∂τ ρc
小型导电体，忽略热阻， 小型导电体，忽略热阻，温度与坐标无关
Q = hF ( tw − t∞ )
& ∂t Φ = ∂τ ρ c
Q − Q ' Q − hF (t − t∞ ) & Φ= = V V
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2. 在某厂生产的测温元件说明书上，标明该元件的 在某厂生产的测温元件说明书上， 时间常数为1s，从传热学的角度， 时间常数为 ，从传热学的角度，你认为此值可信 么？ 答案： 答案：
τc =
ρ cV
•多维非稳态导热问题的求解方法 多维非稳态导热问题的求解方法
1 ）是否满足乘积解法的条件； 是否满足乘积解法的条件； 2 ）合理将一个多维问题分析成几个一维问题。 合理将一个多维问题分析成几个一维问题。
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思考题： 思考题： 1.由导热微分方程可知，非稳态导热只与热扩散率 由导热微分方程可知， 由导热微分方程可知 有关，而与导热系数无关。你认为对吗？ 有关，而与导热系数无关。你认为对吗？
∂t 2 = a∇ t ∂τ
答案： 答案：由于描述一个导热问题的完整数学描述不 仅包括控制方程，还包括定解条件，所以非稳态 仅包括控制方程，还包括定解条件， 导热的控制方程只与热扩散率有关， 导热的控制方程只与热扩散率有关，但边界条件 中确有可能包括导热系数λ（ 中确有可能包括导热系数 （如第二类和第三类边 界条件），因此上述观点不对。 ），因此上述观点不对 界条件），因此上述观点不对。
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3－19汽轮机启动过程气缸壁的升温过程：看作一维平 19汽轮机启动过程气缸壁的升温过程： 汽轮机启动过程气缸壁的升温过程 启动前壁温均匀为t 启动后蒸汽温度t 壁，启动前壁温均匀为 0,启动后蒸汽温度 f=tf0+wt,表 表 面传热系数h为定值 气缸壁外绝热良好。 为定值， 面传热系数 为定值，气缸壁外绝热良好。请写出数学 描述式。 描述式。
τ hF 1 ∫t∞ ( tw − t )dt = ∫0 ρ cV dτ
t
dt ρ cV = hF ( tw − t ) dτ
t − tw =e t∞ − t w
−
hF τ mc
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5. 两块厚度为 两块厚度为30mm的无限大平板，初始温度是 的无限大平板， 的无限大平板 20℃，分别用铜和钢制成。平板两侧表面的温度突 ℃ 分别用铜和钢制成。 然上升到60℃ 然上升到 ℃，试计算使两板中心温度均上升到 56℃时两板所需时间之比。铜和钢的热扩散率分别 ℃时两板所需时间之比。 为103＊10－6 m2/s,12.9*10-6m2/s。 ＊ 。 答案：一维非稳态无限大平板内的温度分布有： 答案：一维非稳态无限大平板内的温度分布有： θ t - t∞ x = = f ( Bi, Fo, ) θ 0 t0 - t∞ δ 两种材料达到同样工况时， 和 相同(Bi→∞)，要 两种材料达到同样工况时，Bi和x/δ相同 相同 ， 相同： 使温度分布相同， 使温度分布相同，则只需Fo相同：
第二章作业
A∆t A∆t Φ= = ∑ R R1 + R2 + R3 + R4 + R5
Φ总 = Φ • 3600
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2－4 －
已知， 已知，一烘箱炉门由两层材料构成
δ A =2δ B
λa , λb , t f 1, t f 2 , h1 , h2 , tw = 50
4. 一质量 ，比热 ，比表面积 小型导电体，初始 一质量m，比热c，比表面积F小型导电体 小型导电体， 加热该导电体， 温度t 等于环境温度t 温度 0等于环境温度 ∞，以恒定热流 加热该导电体， 温度逐渐升高，最终达到平衡温度t 温度逐渐升高，最终达到平衡温度 w，求加热过程 中导电体温度随时间的变化关系。对流换热系数h恒 中导电体温度随时间的变化关系。对流换热系数 恒 定。 解法1， 解法 ，通过能量守恒关系
( aτ
δ
2
)铜＝(
aτ
δ
2
)钢
τ 铜 a 钢 12.9 ＝ ＝ ＝0.125 τ 钢 a 铜 103
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6. 无内热源，常物性二维导热物体在某一瞬间时的 无内热源， 温度分布为t=2y2cosx。试说明该导热物体在 温度分布为 。试说明该导热物体在x=0,y=1 处的温度是随时间增加逐渐升高，还是逐渐降低的？ 处的温度是随时间增加逐渐升高，还是逐渐降低的？
Φ2 =1.24 Φ1
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比较凸面锥台，圆柱， 2－26 比较凸面锥台，圆柱，凹面 锥台热量的大小
dt Φ = -λ A dx
Φ=
λ (t1 - t2 )
∫
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hA
在一定条件下，ρ,c,V,A可认为是常数， 在一定条件下，ρ,c,V,A可认为是常数，但表面 可认为是常数 传热系数却与具体的过程有关的过程量， 传热系数却与具体的过程有关的过程量，与测温 元件安装的具体环境的换热条件有关，因此，对 元件安装的具体环境的换热条件有关，因此， 该说明书上标明的时间常数要进行具体分析， 该说明书上标明的时间常数要进行具体分析，不 能盲目相信。 能盲目相信。
δA δB
求δ A，δ B
h1 tf1
tw
h2 tf 2
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100+2δ 1 100+4δ ln ( )+ ln ( ) Φ1 ∑ R 2 2πλ2 100 2πλ1 100+2δ = = 1 100+2δ 1 100+4δ Φ2 ∑ R1 ln ( )+ ln ( ) 2πλ1 100 2πλ2 100+2δ 1
dt ρ cV = Q − hF ( t − t∞ ) dτ t τ hF 1 dt ρ cV = hF ( tw − t ) ∫t∞ ( tw − t )dt = ∫0 ρ cV dτ dτ