专题复习（7）——《三角形相似》学号：____姓名：_______________三角形的相似是解决数学中图形问题的重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。
主要考查以下几方面的内容：1．会运用三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。
2．能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。
3．能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。
一、基础训练 1、（07宁德）若23a b =，则a bb += ． 2、若如图所示的两个四边形相似，则α∠的度数是（ ）A ．87B ．60C ．75D ．1203、如果两个相似三角形的相似比为2：3, 那么这两个相似三角形周长比为________；对应角平分线的比为_______，对应高的比为__________，对应中线的比为__________，面积比为 。
4、（08海珠）若梯形的上底为m ，下底为5㎝，则此梯形的中位线长为 ㎝. 5、（08越秀）如图，D 是ABC ∆的重心，则下列结论正确的是（ ） A ．DE AD =2 B ．DE AD 2= C ．DE AD 23= D ．DE AD 3=6、如图，已知DE ∥BC ，EC=6cm ，DE=5cm ，AE=m ，AB=14cm ， 求AD 、BC的长．•二、例题分析：例1、如图5所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB 的高为0.3米，踏板DE 长为1.6米，支撑点A 到踏脚D 的距离为0.6米，现在从捣头点E着地的位置开始，让踏脚着地，则捣头点E 上升了 米． 例2、 (2018南京)如图,在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠=，点E F ，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合），且120BEF ∠=，设A E x =，DF y =．⑴ 求y 与x 的函数表达式； ⑵ 当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？6075α60138第2题图ABCD E·（第5题图）Ａ Ｅ Ｄ ＦＣＢＣ图3A BD O第2题三、巩固练习：（Ａ组）1．如图1，若DE ∥BC ，且AD=2cm ，AB=4cm ，AC=m ，则AE=_______．2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点，S △AOD :S △COB ＝1:9，则OD:OB ＝ 。
3．如图3，在平行四边形ABCD 中，AF 交DC 于E ，交BC 的延长线于F ，若20DAE ∠=，90AED ∠=，则B ∠=____度；若13EC AB =，4AD =厘米，则CF = 厘米．4．如图4，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF BE ⊥，交CD 于F ，连结BF ，则图中与ABE △ 一定相似的三角形是（ ）A ．EFB △ B ．DEF △C ．CFB △D ．EFB △和DEF △5．如图5，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树， 在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北 岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵 树之间还有三棵树，则河宽为 米．6、（07泉州）25．（8分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥， B ACD ∠=∠． （1）请再写出图中另外一对相等的角； （2）若6AC =，9BC =，试求梯形ABCD 的中位线的长度．（B 、C 组）7、如图5，△ABC 内接于⊙O ，D 是弧AC 的中点求证：CD 2=DE ·DB 。
C 组8、(2018长沙)如图，□ABCD 中，4AB =，3BC =，120BAD =∠，E 为BC 上一动点（不与B 重合），作EF AB ⊥于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE x =，DEF △的面积为S ． （1）求证：BEF CEG △∽△；（2）求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； （3）当E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少？9：如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB图1E D CBA 图5 AP 南岸北岸图5 （第6题图）A C BDEF G边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。
如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤t≤6），那么：（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论。
（变式：当点Ｐ、Ｑ运动时，四边形QAPC的面积是否改变？若不变，求出它的面积；若改变，请说明理由。
）（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似。
10、（陕西）王师傅有两块板材边角料，其中30cm，下底为一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①）．王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，•两块板子的重叠部分为五边形ABCFE 围成的区域（如图②）．由于受材料纹理的限制，•要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点． （1）求FC 的长；（2）利用图②求出矩形顶点B 所对的顶点到BC 边的距离x （cm ）为多少时，矩形的面积y （cm 2）最大？最大面积是多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．例2、【解题分析】⑴ 由18012060AEB ABE ∴+=-=∠∠和 18012060AEB DEF ∴+=-=∠∠得ABE DEF ∴=∠∠． 从而可得ABE DEF ∴△∽△∴y 与x 的函数表达式是216y x x =-+ 解：（1）ACB CAD ∠=∠（或BAC ADC ∠=∠） ·············································· 3分 （2）B ACD ∠=∠，又ACB CAD ∠=∠ ABC DCA ∴△∽△ ······················································································· 5分AC BC AD AC∴=，即2AC BC AD = ·························· 6分 6AC =，9BC =，269AD ∴=， 解得4AD = ······················································· 7分∴梯形ABCD 的中位线长为496.52+= ····························································· 8分 9：分析：（1）当三角形QAP 为等腰三角形时，由于∠A 为直角，只能是AQ=AP ，建立等量关系，t t -=62，即2=t 时，三角形QAP 为等腰三角形；（2）四边形QAPC 的面积=ABCD 的面积—三角形QDC 的面积—三角形PBC 的面积=6)212(211221612⨯--⨯⨯-⨯x x =36，即当P 、Q 运动时，四边形QAPC 的面积不变。
（3）显然有两种情况：△PAQ ∽△ABC ，△QAP ∽△ABC ，由相似关系得61262=-x x 或12662=-x x ，解之得3=x 或2.1=x 10、（1）由题意，得△DEF ∽△CGF ，∴6030,60DF DE FC FC CG FC -=∴=，∴FC=40（cm ）． （2）如图，设矩形顶点B 所对顶点为P ，则①当顶点P 在AE 上时，x=60， y 的最大值为60×30=1 800（cm 2）．②当顶点P 在EF 上时，过点P 分别作PN ⊥BG 于点N ，PM ⊥AB 于点M ． 根据题意，得△GFC ∽△GPN ．∴PN FC NG CG =．∴NG=32x ，∴BN=120－32x ． ∴y=x （120－32x ）=－32（x －40）2+2 400．∴当x=40时，y 的最大值为2 400（cm 2）．③当顶点P 在FC 上时，y 的最大值为60×40=2 400（cm 2）． 综合①②③，得x=40cm 时，矩形的面积最大，最大面积为2 400cm 2．（3）根据题意，正方形的面积y （cm 2）与边长x （cm ）满足的函数表达式为： y=－32x 2+120x ． 当y=x 2时，正方形的面积最大． ∴x 2=－32x 2+120x ． 解之，得x 1=0（舍去），x 2=48（cm ）． ∴面积最大的正方形的边长为48cm ．。