B．
C．
D．
A．
四、等腰（等边）三角形
1、 已知ΔABC 中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将ΔABC 分成两个三角形，若其中一个是等腰三角
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
形，则这样的直线最多有（
）条。
2、(2013)17．（3 分）如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O，将∠C 沿 EF（E 在 BC 上，F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合，则∠OEC 为______
⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于
⑶相似三角形周长的比等于 面积的比等于
1、 判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似
⑵两边对应 且夹角 的两三角形相似
⑶两角 的两三角形相似
⑷三组对应边的比 的两三角形相似
【提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证 判定方
针对性练习
1、在矩形 ABCD 中，AD=2AB=4，E 是 AD 的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点 E 重合，将三角板绕点 E 旋转，三角 板的两直角边分别交 AB，BC（或它们的延长线）于点 M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出下列四个结论：AM=；
②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=
B．∠DOC=90°
C．∠BDC=35°
D．∠DAC=55°
3、（2013）4 分）如图，△ABC 的周长为 26，点 D，E 都在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，
∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 P，若 BC=10，则 PQ 的长为（ ）
4、如图，点 P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边
其中结论正确的有
.
可修编
.
-
-
（）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
五、相似图形
【基础知识回顾】 一、 成比例线段： 1、线段的比：如果选用两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为 m、n 则这两条线段的比就是它们 的比，即：
AB
=
CD
a
2、比例线段：四条线段 a、b、c、d 如果 = 那么四条线段叫做同比例线段，简称
小值 为_______
7、如图，点 A，B，C 在一条直线上，△ABD，△BCE 均为等边三角形，连接 AE 和 CD，AE 分别交 CD，BD
于点 M，P，CD 交 BE 于点 Q，连接 PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ 为
等 边 三 角 形 ； ④MB 平 分 ∠ AMC ，
例2．如图，在 Rt△ABC 中， AB AC ，D、E 是斜边 BC 上两点，且∠DAE=45°，
A
F
将△ ADC 绕点 A 顺时针旋转 90 后，得到△ AFB ，连接 EF ，下列结论：
①△ AED ≌△ AEF ；②△ ABE ∽△ ACD ；
BE
D
C
(第8题图）
③ BE DC DE ；
A．BC B．CE C．AD D．AC
5、 （2017•东营）如图，在▱ ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E．若
BF=8，AB=5，则 AE 的长为（ ）
A、5B、6C、8D、12
6、如图，△ABC 为等边三角形，AB=2．若 P 为△ABC 一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段 PB 长度的最
法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】
.
可修编
.
-
-
三、相似多边形：
1、定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形
2、性质：⑴相似多边形对应角 对应边
⑵相似多边形周长的比等于 面积的比等于
【提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】 一、 位似：
b
ac
3、比例的基本性质： = <＝>
bd
4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线 【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的 ，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位 无关 即比值没有单位。】 二、相似三角形：
1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似
2、性质：⑴相似三角形的对应角 对应边
B． 5 1 C． 5 1D． 5 1 2
考点二：相似三角形的性质及其应用 例 2 已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为 3，△DEF 的周长为 1，则 ABC 与△DEF 的面积之比为 ．
对应训练
.
可修编
.
-
-
2．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为 3：4，△ABC 的周长为 6，则△A′B′C′的周长为 ．
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
.
可修编
.
-
-
2、（2014 威海）（3 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点 E 在 BC 的延长线上，∠ABC
的平分线 BD 与∠ACE 的平分线 CD 相交于点 D，连接 AD，下列结论中不正确的是
（） A． ∠BAC=70°
.
可修编
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-
-
号）
4、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边上，连 接 BD． （1）试判断△ACE 与△BCD 是否全等（不要求证明）；
（2）求∠ADB 的度数；
（ 3） 求 证 ： AE2+AD2=2AC2．
4、如图，直线 l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形 ABC 的三个顶点 A，B，C 分别在 l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC 交 l2于点 D，已知 l1与 l2的距离为 1，l2与 l3的距离为 3，则 的值为（ ）
S2，若 S△ABC=12，则 S1-S2 的值为______． 2、如上图，△ABC 中，AB=4，AC=3，AD、AE 分别是其角平分线和中线，过点 C 作 CG⊥AD 于 F，交 AB 于
G，连接 EF，则线段 EF 的长为（ ）
A．
B． 1
C．
D． 7
3、如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且∠AFB=90°，若 AB=5，BC=8，则 EF 的长为（ ）。
分别与 OA，OB 相交于 M、N 两点，则以下结论：（1）PM＝PN 恒成立，（2）OM＋ON 的值不变，（3）四边形 PMON 的面 积不变，（4）MN 的长不变，其中正确的个数为
A．4
B．3
C．2
D．1
5、如图所示，在△ABC 中，BC=6，E、F 分别是 AB、AC 的中点，动点 P 在射线 EF 上，BP 交 CE 于 D，∠
④ BE2 DC2 DE2
其中正确的是（ ）A．②④； B．①④； C．②③；D．①③．
3．如图，△
中，AB=AC，D 是 BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交 AC、AD、
.
可修编
.
-
-
AB 于点 E、O、F，则图中全等的三角形的对数是（ ）
A.1 对
B.2 对
C.3 对
D.4 对
例 4．如图，已知 BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为．（答案不唯一，只 需填一个）
.
可修编
.
-
-
度．
3、等腰三角形的三边长分别为 a，b，2，且 a，b 是关于 x 的一元二次方程 x²-6x+n-1=0 的两根，则 n 的
值为（） 4．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD、CE 是△ABC 的两条中线，P 是 AD 上一个动点，则下列线段的长度等 于 BP+EP 最小值的是（ ）
例 1 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，则 AD 的长是，cosA 的
值是．（结果保留根号）
对应训练 2．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，若 AC=2，则 AD 的长是（ ）
A． 5 1 2
1、定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形，这 个点叫做 这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或
2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位 r，那么位似图形对应点 的坐标的比等于 或】 【典型例题解析】 考点一：比例线段
折叠，使 B 点落在 AC 边上的 B′处，则∠ADB′等于（ ）
A.25° B. 30° C. 35° D. 40°
4、所示，A、B、C 分别表示三个村庄，AB=1000 米，BC=600 米，AC=800 米，在社会主义新农
村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相
A. BH 垂直平分线段 AD B. AC 平分∠BADC. S△ABC=BC·AH D. AB=AD
三、全等三角形
【知识梳理】 1、定义：能够完全重合的两个三角形全等． 2、性质：两个全等的三角形的对应边和对应角分别相等 3、判定方法：边角边（SAS）角边角（ASA）推论 角角边（AAS）边边边（SSS）“HL” 例 1.如图，已知 AE=CF，∠AFD=∠CEB， 那么添加一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE 的是（ ） A．∠A=∠CB．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC