立体几何题型分类解答第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图及其表面积和体积一、选择题1．(2009年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是( )2．(2010年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①②B．①③C．①④D．②④3．如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是( )①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A．④③② B．②①③ C．①②③ D．③②④4．(2009年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )A．9与13 B．7与10 C．10与16 D．10与155．(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．2π＋2 B．4π＋2C．2π＋ D．4π＋二、填空题6．在下列图的几何体中，有个是柱体．7．(2009年全国卷)直三棱柱－A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若＝＝1＝2，∠＝120°，则此球的表面积等于．8．一个长方体共顶点的三个面的面积分别为、、，这个长方体对角线的长是．三、解答题9.如右图所示，在正三棱柱—A1B1C1中，＝3，1＝4，M为1的中点，P是上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱1到M的最短路线长为，设这条最短路线与1的交点为N.求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)和的长．10.一几何体的表面展开图如右图，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图．并计算该几何体的体积．参考答案1．C2．解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.答案：D3．A 4 56．解析：柱体包括棱柱与圆柱，图中第①，③，⑤，⑦个几何体都是柱体．答案：47．解析：在△中＝＝2，∠＝120°，可得＝2，由正弦定理，可得△外接圆半径r＝2，设此圆圆心为O′，球心为O，在△′中，易得球半径R＝，故此球的表面积为4πR2＝20π.答案：20π8．解析：不妨设三棱长为a，b，c，则＝，＝，＝，解得＝从而a＝，b＝1，c＝，其对角线长为＝.答案：9．解析：(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形所以对角线长为＝；(2)将该三棱柱的侧面沿棱1展开，如右图，设的长为x，则2＝2＋(＋x)2，因为＝，＝2，＝3，所以x＝2即的长为2，又因为∥所以＝即＝，所以＝.注意：几何体中，沿侧面上的最短线路问题常考虑几何体的侧面展开图或表面展开图来考虑．10．解析：该几何体为四棱锥，底面是正方形，有一条侧棱与底面垂直，(直观图，三视图略)其体积为：×6×6×6＝72 3.第二节空间图形的基本关系与公理一、选择题1．下列四个命题：①分别在两个平面内的两条直线是异面直线②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条③和两条异面直线都相交的两条直线必异面④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线其中是真命题的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．02．以下命题中：①点A，B，C∈直线a，A，B∈平面α，则C∈α；②点A∈直线a，a⊄平面α，则A∈α；③α，β是不同的平面，a⊂α，b⊂β，则a，b异面；④三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤空间有四点不共面，则这四点中无三点共线．真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．33．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．(2008年四川延考)在正方体－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为( )5．(2008年全国卷Ⅱ)已知正四棱锥S－的侧棱长与底面边长都相等，E是的中点，则，所成的角的余弦值为( )二、填空题6．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定个平面．7．在长方体－A1B1C1D1中，经过其对角线1的平面分别与棱1、1相交于E，F两点，则四边形1的形状为．8．P是直线a外一定点，经过P且与直线a成30°角的直线有条．三、解答题9.如右图所示，在三棱锥A－中，E，F，G，H分别是边，，，的中点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若＝，求证：四边形是菱形；(3)当与满足什么条件时，四边形是正方形．10.如右图所示，已知四边形为直角梯形，∥，∠＝90°，⊥平面，且＝＝＝1，＝2.(1)求的长；(2)求异面直线与所成角的余弦值的大小．参考答案1．D2．解析：只有①⑤为真命题．答案：C3．B4．解析：连结D1C，，用余弦定理解三角形可以求得答案．答案：B5．解析：连接、交于O，连接，因∥.所以∠为所求．设侧棱长与底面边长都等于2，则在△中，＝1，＝，＝＝，于是∠＝＝＝.答案：C6．7 7.平行四边形8．解析：无数条，它们组成一个以P为顶点的圆锥面．答案：无数9．解析：(1)证明：在△中，E，F分别是边，中点，所以∥，且＝，同理有∥，且＝，∴∥且＝，故四边形是平行四边形；(2)证明：仿(1)中分析，∥且＝，若＝，则有＝，又因为四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．(3)由(2)知，＝(四边形是菱形，欲使是正方形，还要得到∠＝90°，而∠与异面直线，所成的角有关，故还要加上条件⊥.∴当＝且⊥时，四边形是正方形．10．解析：(1)因为⊥平面，⊥，∴⊥，即∠＝90°，由勾股定理得＝＝.∴＝＝.(2)如右图所示，过点C作∥交的延长线于E，连结，则∠为异面直线与所成的角或它的补角．∵＝＝，且＝＝.∴由余弦定理得∠＝＝－.∴与所成角的余弦值为.第三节空间图形的平行关系一、选择题1．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是( )A．α、β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线点A、B、C到β的距离相等C．a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β2．(2009年滨州模拟)给出下列命题：①若平面α内的直线l垂直于平面β内的任意直线，则α⊥β；②若平面α内的任一直线都平行于平面β，则α∥β；③若平面α垂直于平面β，直线l在平面α内，则l⊥β；④若平面α平行于平面β，直线l在平面α内，则l∥β.其中正确命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．13．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n 与α，β分别交于点B，D，且＝6，＝9，＝8，则的长为( )A．16 B．24或C．14 D．204．a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是( )A．过A有且只有一个平面平行于a、bB．过A至少有一个平面平行于a、bC．过A有无数个平面平行于a、bD．过A且平行a、b的平面可能不存在5．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；③若l⊂α，m⊂α，l∩m＝点A，l∥β，m∥β，则α∥β；④m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l.其中为假命题的是( )A．① B．② C．③ D．④二、填空题6．设D是线段上的点，∥平面α，从平面α外一定点A(A与分居平面两侧)作、、分别交平面α于E、F、G 三点，＝a，＝b，＝c，则＝.7．在正四棱柱－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱1、C1D1、D1D、的中点，N是的中点，点M在四边形及其内部运动，则M满足条件时，有∥平面B11.8．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是．(写出所有正确结论的编号)三、解答题9.(2009年柳州模拟)如右图所示，－A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱的中点．(1)求证：1∥平面C1；(2)求三棱锥D－D1的体积．10.(2009年宁夏模拟)如右图所示，在四棱锥P—中，底面是矩形，⊥底面，＝＝1，＝，点F是的中点，点E在边上移动．(1)求三棱锥E—的体积；(2)当点E为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；(3)证明：无论点E在边的何处，都有⊥.参考答案1．解析：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确．答案：D2．B3．解析：利用△与△相似可得，当α，β在点P的同侧时，为；α，β在点P的异侧时，为24. 答案：B4．解析：过点A可作直线a′∥a，b′∥b，则a′∩b′＝A.∴a′、b′可确定一个平面，记为α.如果a⊄α，b⊄α，则a∥α，b∥α.由于平面α可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在．答案：D5．解析：本题考查线线，线面及面面位置关系的判定．答案：B67．点M在线段上8．解析：如右图所示，A1D与1在平面上的射影互相平行；1与1在平面上的射影互相垂直；1与1在平面上的射影是一条直线及其外一点．答案：①②④9．解析：(1)证明：连接D1C交1于F，连结.∵—A1B1C1D1为正四棱柱，∴四边形1D1为矩形，∴F为D1C中点．在△1B中，∵E为中点，∴∥D1B.又∵D1B⊄面C1，⊂面C1，∴1∥平面C1.(2)连结，－D1＝1－，∵′是正四棱柱，∴D1D⊥面.∵＝＝2，∴S△＝×2×2＝2.1－＝·S△·D1D＝×2×1＝.∴三棱锥D－D1的体积为.10．解析：(1)三棱锥E—的体积V＝·S△＝·＝.(2)当点E为的中点时，与平面平行．∵在△中，E、F分别为、的中点，∴∥，又⊄平面，而⊂平面，∴∥平面.(3)证明：∵⊥平面，⊂平面，∴⊥，又⊥，∩＝A，，⊂平面，∴⊥平面，又⊂平面，∴⊥，又＝＝1，点F是中点，∴⊥又∵∩＝B，，⊂面，∴⊥面，∵⊂面，∴⊥.第四节空间图形的垂直关系一、选择题1．(2008年安徽卷)已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．(2009年浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β3．(2009年广东卷)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④4．关于直线m、n与平面α与β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是( )A．①② B．③④ C．①④D．②③5．已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是( )A．①③ B．②④ C．①④D．②③二、填空题6．下列命题中，设α、β、γ为不同平面，a、b为不同直线，下列命题是真命题的有．①a⊥α，a⊥β⇒α∥β.②a⊥α，a∥b⇒b⊥α.③α⊥β，a⊂α，b⊂β⇒a⊥b.④a⊥α，a⊥b⇒b∥α.7．设三棱锥P－的顶点P在平面上的射影是H，给出以下命题：①若⊥，⊥，则H是△的垂心②若、、两两互相垂直，则H是△的垂心③若∠＝90°，H是的中点，则＝＝④若＝＝，则H是△的外心其中正确命题的命题是．8．(2009年浙江)如下图，在长方形中，＝2，＝1，E为的中点，F为线段(端点除外)上一动点．现将△沿折起，使平面⊥平面.在平面内过点D作⊥，K为垂足．设＝t，则t的取值范围是．三、解答题9.如右图所示，四棱锥P－的底面是边长为1的正方形，⊥，＝1，＝.(1)求证：⊥平面；(2)求四棱锥P－的体积．10．如右图，A、B、C、D为空间四点．在△中，＝2，＝＝.等边三角形以为轴运动．(1)当平面⊥平面时，求；(2)当△转动时，是否总有⊥?证明你的结论．参考答案1．解析：m、n均为直线，其中m、n平行α，m、n可以相交也可以异面，故A不正确；m⊥α，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；故选D.答案：D2．解析：对于A、B、D均可能出现l∥β，而对于C是正确的．答案：C3．D4．D5．解析：用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④正确，②中m，n可以平行或异面；③中n可以在α内．答案：C6．①②7．①②③④8．解析：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于的中点时，t＝1，随着F点到C点时，因⊥，⊥，∴⊥平面，即有⊥，对于＝2，＝1，∴＝，又＝1，＝2，因此有⊥，则有t＝，因此t的取值范围是.答案：9．解析：(1)证明：因为四棱锥P－的底面是边长为1的正方形，＝1，＝，所以2＝2＋2，所以⊥.又⊥，∩＝D，所以⊥平面.(2)四棱锥P－的底面积为1，因为⊥平面，所以四棱锥P－的高为1，所以四棱锥P－的体积为.10．解析：(1)取的中点E，连结，，因为是等边三角形，所以⊥.当平面⊥平面时，因为平面∩平面＝，所以⊥平面，可知⊥，由已知可得＝，＝1，在△中，＝＝2.(2)当△以为轴转动时，总有⊥.证明：①当D在平面内时，因为＝，＝，所以C，D都在线段的垂直平分线上，即⊥.②当D不在平面内时，由(1)知⊥.又因＝，所以⊥.又，为相交直线，所以⊥平面，由⊂平面，得⊥.综上所述，总有⊥.。