第二章习题
判断下列抽样方法是否是等概的：
（1）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r ，若r=0或r>64则舍弃重抽。
（2）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r ，r 处以64的余数作为抽中的数，若余数为0则抽中64.
（3）总体20000~21000，从1~1000中产生随机数r 。
然后用r+19999作为被抽选的数。
解析：等概抽样属于概率抽样，概率抽样具有一些几个特点：第一，按照一定的概率以随机原则抽取样本。
第二，每个单元被抽中的概率是已知的，或者是可以计算的。
第三，当用样本对总体目标进行估计时，要考虑到该样本被抽中的概率。
因此（1）中只有1~64是可能被抽中的，故不是等概的。
（2）不是等概的【原因】（3）是等概的。
抽样理论和数理统计中关于样本均值y 的定义和性质有哪些不同 解析：抽样理论和数理统计中关于样本均值的定义和性质的不同
为了合理调配电力资源，某市欲了解50000户居民的日用电量，从中简单随机抽取了300户进行，现得到其日用电平均值=y （千瓦时），=2
s 206.试估计该市居民用电量的95%置信区间。
如果希望相对误差限不超过10%，则样本量至少应为多少
解：由已知可得，N=50000，n=300，5.9y =，2062=s
1706366666206*300
50000300
1500001)()ˆ(22
2
=-
=-==s n
f N y N v Y
V
19.413081706366666(==）y v
该市居民用电量的95%置信区间为
[])(y [2
y V z N α±=[475000±*]
即为（，） 由相对误差公式
y
)
(v u 2y α≤10%
可得%10*5.9206*n
50000
n 1*
96.1≤-
即n ≥862
欲使相对误差限不超过10%，则样本量至少应为862
某大学10000名本科生，现欲估计爱暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。
随机抽取了两百名学生进行调查，得到P=，是估计该大学所有本科生中暑假参加培训班的比例的95%置信区间。
解析：由已知得：10000=N 200=n 35.0=p 02.0==
N
n
f 又有：35.0)()(===∧p p E p E 0012.0)1(1
1)(=---=∧p p n f
p V
该大学所有本科学生中暑假参加培训班的比例95%的置信区间为：])()([2
∧
∧
±P V Z P E α
代入数据计算得：该区间为[，]
研究某小区家庭用于文化方面（报刊、电视、网络、书籍等）的支出，N=200，现抽取一个容量为20的样本，调查结果列于下表：
编号 文化支出 编号 文化支出 1 200 11 150 2 150 12 160 3 170 13 180 4 150 14 130 5 160 15 100 6 130 16 180 7 140 17 100 8 100 18 180 9 110 19 170 10
240
20
120
估计该小区平均的文化支出Y ,并给出置信水平95%的置信区间。
解析：由已知得：200=N 20=n
根据表中数据计算得：5.14420120
1
==∑=i i y y ()
06842.827120120
1
22
=--=∑=i i
y y s 21808.37)1(1)(2=-=
s N
n
n y V 10015.6)(=y V
∴ 该小区平均文化支出Y 的95%置信区间为：])(y [2
y V z
α
±即是：[ ,]
故估计该小区平均的文化支出Y =,置信水平95%的置信区间为[ ,]。
某地区350个乡为了获得粮食总产量的估计，调查了50个乡当年的粮食产量，得到y =1120（吨），25602
=S ，据此估计该地区今年的粮食总产量，并给出置信水平95%的置信区间。
解析：由题意知：y =1120 1429.0350
50n ===
N f 25602=S ⇒160=s 置信水平95%的置信区间为：]1y [2
s n
f
z -±α
代入数据得： 置信水平95%的置信区间为：[，]
某次关于1000个家庭人均住房面积的调查中，委托方要求绝对误差限为2平方千米，置信水平95%，现根据以前的调查结果，认为总体方差682
=S ，是确定简单随机抽样所需的样本量。
若预计有效回答率为70%，则样本量最终为多少
解析：简单随机抽样所需的样本量2
2
22
2
12
2
S Z Nd S NZ n αα+=
%
701
2n n =
由题意知：1000=N 2=d 682
=S 96
.12
=αZ
代入并计算得：613036.611≈=n
87142.87%701
2≈==
n n
故知：简单随机抽样所需的样本量为61，若预计有效回答率为70%，则样本量最终为87
某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，抽取10个企业调查今年的产量，得到25=y ，这些企业去年的平均产量为22=x 。
试估计今
年该地区化肥总产量。
解析：由题可知22x =，
35.211002135===
N X X ,25y =
则，该地区化肥产量均值Y 的比率估计量为
26
.242425
35.21===∧
x y X
Y
该地区化肥产量总值Y 的比率估计量为 242626.24*100ˆˆ===R Y N Y
所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。
如果在解决习题的问题时可以得到这些家庭月总支出，得到如下表：
全部家庭的总支出平均为1600元，利用比估计的方法估计平均文化支出，给出置信水平95%的置信区间，并比较比估计和简单估计的效率。
解析：由题可知1580
130017002300201
x n 1x n 1i i =+++==∑=）（Λ
5.144y =
091.015805.144ˆ=≈===x y r R
又
329.14615805.144*1600x y y ===X
R
053.826)(111
22
=--=∑=n
i i y y n S
158.3463))((111
=---=∑=n
i i i xy
x x y y n S
579.8831)(111
22
=--=∑=n i i
x
x x n S
故平均文化支出的95%的置信区间为
,)ˆˆ2(1[2222
x yx R S R S R S n f Z y +---α])ˆˆ2(1222
2x
yx R S R S R S n f Z y +--+α
代入数据得（±*）
即为[,]
某养牛场购进了120头肉牛，购进时平均体重100千克。
现从中抽取10头，记录重量，3个月后再次测量，结果如下：
用回归估计法计算120头牛现在的平均重量，计算其方差的估计，并和简单估计的结果进行比较。
解：由题可知，6.10210595101
x n 1x n 1i i =++==∑=）
（Λ 16317015010
1
y n 1y n 1i i =+==∑=）（
Λ 222.2121910*9
1)(1112
2
==--=∑=n i i
y y n S 333.1461317*91))((111==---=∑=n i i
i xy
x x y y n S 933.1064.926*9
1)(11122
==--=∑=n i i x
x x n S 故有368.1933
.106333
.1462
0==
=
x
xy S S β
所以总体均值Y 的回归估计量为
443.159)6.102100(*368.1163)(0=-+=-+=x X y y lr β 其方差估计为：
)2(1)(ˆ02202xy
x lr S S S n f y V ββ-+-=
=
)333.146*368.1*2933.106*368.1222.212(10
1201012-+-
=
而2
1y (ˆS n
f V -=
） =
222.212*10
12010
1- =
显然)(ˆ)(ˆy V y V lr
< 所以，回归估计的结果要优于简单估。