4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=)(0)()(t N k k t t t S使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E ==对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。

但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下，n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。

不过就他们的和nt t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以2))((2)2)(())((22)())(|)((20t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E nk k λ====-=-==∑=从而有4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。

定义风险率)(t λ如下)(1)()(t F t f t -=λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。

定义随机过程)(t N 如下}),,..,m ax (:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=-这里A #表示集合A 中的元素个数。

如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。

事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。

很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。

假定t ∆充分小，在0,...,X X n 中只有n X 在],(t t t ∆+上，因此111-11-11111))())(()((),...,(]),((),...,],,(()),...,max(],,(()),...,max(],,(()1)()((--∞=-∆+∆=≤≤∆+∈=≤≤∆+∈=>∆+∈>∆+∈==-∆+∑n n n n n n n n n n n n t F t o t t f t X t X P t t X P t X t X t t X P X X X t t X P X X X t t X P t N t t N P所以)()()(1)()())(())()(()1)()((21t o t t t F t o t t f x F t o t t f t N t t N P n n ∆+∆=-∆+∆=∆+∆==-∆+∑∞=-λ另一方面，可以证明)()2)()((t o t N t t N P ∆=≥-∆+ 所以)(t N 是非齐次的Poisson 过程，强度)(t λ。

这里所提到的风险率在可靠性研究中有着重要作用。

假定某种起见的寿命为随机变量，其概率分布和密度分布为)()(t f t F 和，那么风险率微元)()(t o t t ∆+∆λ表示该器件在]1,0[时间段内为失效的条件下，将会在],[t t t ∆+内失效的概率。

由此可以说明“风险”一次的含义。

从而可知，与指数相应的风险率是常数，而且在所有非负连续随机变量的分布函数中，唯有指数分布相应的风险率为常数。

事实上，由)ex p(1)(0)0()),(1()(t t F F t F t F dtdλλ--==-=直接解得上式正好指数分布的分布函数。

4.3(Poisson 过程的和与差)两个独立的Poisson 过程的和仍然是Poisson 过程，事实上，设是两个和)()(21t N t N 独立的Poisson 过程，参数分别是21λλ和。

则)()(21t N t N +的母函数为))1()ex p((),(),())(()(),(21)()()()()()(21212121-+====++z t t z G t z G z z E z E t z G N N t N t N t N t N t N t N λλ所以)()(21t N t N +是参数21λλ+的Poisson 过程。

类似的结论可以拓广到n 个独立的Poisson 过程的和：如果个是，n t N t N n )(...,)(1独立的Poisson 过程，参数分别为n λλ...,1，，那么)(...)(1t N t N n ++仍然是Poisson 过程，参数n λλ++...1。

考虑两个独立Poisson 过程差21)(N N t X -=。

可以肯定，)(t X 不是Poisson 过程，因为0)0)((><t X P ，这与Poisson 过程的非负明显矛盾。

计算)(t X 的特征函数可以知道：)1)(()exp())1)(exp()1)(exp(exp()()()))((exp()))(((exp())))()(((exp()(2121)()(21211121-+=--+-=-=-=-=-ωλλωλωλωφωφωωωωφj P t j t j t j j t N j E t N j E t N t N j E j t N t N N N这里)ex p()ex p()(212211ωλλλωλλλωj j j P -+++=所有)(t X 是Poisson 过程，其中Poisson 过程参数n λλ+1，随机变量k Y 服从两点分布：212211)1(,)1(λλλλλλ+==+==k k Y P Y P4.4(事件分类)[0,t]内进入商店的顾客服从Poisson 过程，顾客有男有女之分。

如果每次进入商店的顾客中，男顾客出现的概率为p ，女顾客出现的概率为q ，1=+q p 那么每次进入想点的男顾客人数)(t N m 有∑==)(0)(t N k km Y t N 其中，k Y 为取值0,1独立同分布的随机变量，不妨设男顾客出现时k Y 取1，根据式))1)((ex p())(()()()()()(1-==ωφλωφωφt Y t Y t N t Y t j G j)1)(exp (exp()1)(exp (exp()1))(exp ((exp()),exp(()(-=-+=-=ωλωλωφλωφj pt q j p t j t t j Y t N m 得到可以看到，进入商店的男顾客人数)(t N m 服从参数为p λ的Poisson 过程。

同理女顾客人数服从参数为q λ的Poisson 过程。

4.6(散弹噪声分析)电真空以及半导体中的噪声有很大一部分来源于“散弹效应”。

单个电子在器件内渡越是会引起微小的窄脉冲电流，设该波形为)(t i 。

而阴极发射的电子数目服从Poisson 分布，大量电子的运动在电路中的总电流强度可以用过滤Poisson 过程进行近似。

⎪⎩⎪⎨⎧∈=-=∑=其他其中,0],0[,2)()()(2)(0a at N k k t t qt i t i t Y τττq 为电子所携带电荷量，a τ为电子在器件内的渡越时间。

由式a tY t d t h t Y E t m τττλ>==⎰设,),())(()(0得a tY s t q d i i t m τλττλ>=-=⎰,,)()(0如果设由式⎰=),min(0),(),(),(s t Y d t s h t h s t C 可知ττλ)(t Y 的协方差函数为⎰--=),min(0)()(),(s t Y d s i t i s t C τττλ整理后得到a a a a a a Y s t s t s t s t q s t C ττττττλ≤-⎪⎩⎪⎨⎧>-⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=||,||,0))((61))((214),(3242所以散弹效应所引起的噪声电流是宽平稳的随机过程。

4.7(发射强度很大时的Gauss 近似)过滤Poisson 过程的性质不仅仅受到滤波器冲击响应h 的影响，和标准Poisson 过程)(t N 的强度λ也有很大关系。

现需要研究当∞→λ时，过滤Poisson 过程)(t Y 的渐进形态，为此首先把)(t Y 归一化。

设令,))(()()),(()(t Y Var t t Y E t m Y Y ==σ)()()()(t t m t Y t Y Y ση-=则)(1))((,0))((t t Var t E ηηη。

==的特征函数满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)()()(exp )()()(t t m t jY t Y Y Y t σωφσωωφη取对数以后得到 )2exp()(2))(lg(12),()(2),()()()()1),()((exp()()())(lg()()())(lg(2)(2)(2022200)()(ωωφωωφλλωττλσωττλσωσωττσωλσωσωφσωωφηηη-→-→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰⎰⎰t t t Y tY Y Y tY Y Y Y t Y Y Y t o d t h t d t h t j t m t j d t h t jt m t jt t m t j也就是说时有所以当所以当单位时间内出现的脉冲个数趋于无穷大时，归一化的过滤Poisson 过程的极限分布为Gauss 分布。

4.8(特烈：Poisson 过程)如果某个更新过程的更新强度为⎩⎨⎧<≥=0,00,)(t t N λλ可以利用更新方程式来计算时间间隔的概率分布，由式τττλλd f t t t f T tN N T )()()()(0⎰--=得))(1()()(t F t F dtdt f T T -==λ立刻得 )exp(1)(t t F λ--=恰好说明分布函数就是指数分布。

4.7.6(周期性)状态i 的周期i d 是集合的最大公约数，即}0:{)(>=n ii i P n T}0:gcd{)(>=n iii P n d 如果,11=d 就状态i 非周期的。

如果1>i d ，则称状态i为周期态。

7.10(两个状态的Markov 链)设离散时间Markov 链的样本空间只有两个状态，这种连接在现实生活中十分常见。

比如天气预报问题，吧晴天和阴天作为(0,1)两种样本状态，可以通过构造Markov 链来研究天气在两种状态之间的统计规律。

两个状态Markov 链的一步转移概率为2*2的随机矩阵，为)11(ββαα--=P 其中。

，]1,0[∈βα要得到n 步转移概率，需要计算。