2
第
13 页
x, x y , y
对于二维矢量空间，已知有如下关系 x1 y1 x 2 y 2 x 2 y 2 cos1 2 即
x x, y
2
y
cos1 2
2
则有
2
1
x, y x
2
y
1
2
x, y
x, x y, y
1
所以
x, y
2
x, x y , y
2


3
0
t π sin t d t 3 3
3 2
O
3 t
f 1 t C 12 f 2 ( t )
3 t
π sin t d t 0 3
2 π
1
O 1 fe (t )
所以
2 π f1 ( t ) sin t π 3
( 0 t 3)
f e (t ) f1 (t ) c12 f 2 (t )
V2
怎样分解，能得到最小的误差分量？ 误差矢量
c2V2
c12V2 c1V2
系数 两矢量正交
第
正交分解
•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。 •空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。 •一个三维空间矢量 V xi yj zh，必须用三个正交
17 页
§6.3 信号的正交函数分解
•矢量的正交分解 •正交函数 •正交函数集
•复变函数的正交特性
第
信号分解的目的
将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号
15 页
的特性。
简化系统分析与运算， 总响应=单元响应之和。
一．矢量的正交分解
方式不是惟一的：
V1 Ve 2 Ve
第
16 页
Ve1
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数定义:
第
44 页
可以证明：
τ的偶函数
(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数: 相关函数：
第
45 页
同时具有性质：
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
① f1(t)与f2(t)为实函数: 相关函数：
第
46 页
§6.2 信号矢量空间的基本概念
•线性空间 •范数
•内积
•柯西－施瓦茨不等式
一．线性空间
定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实 数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。
例:
第 4 页
二．范数
线性空间中元素 x的范数以符号 x 表示，满足以下公理 1 正定性 x 0,当且仅当x 0时 x 0；
r 1 t1 r 1 t1

t2
t2
信号的 能量
基底信号的 能量
各信号分量的 能量
物理意义： 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在 完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。 数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。
6.6
§6.6 相关
•能量信号与功率信号 •相关系数与相关函数 •相关与卷积的比较 •相关定理
四．相关定理
若已知 则 若 则自相关函数为
第
50 页
第
于是
第
10 页
上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量 之间相对位置的“校准”情况。即
推广 三维 多维
第
11 页
信号空间 内的两连续信号的内积
对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为
四．柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式
第
12 页
证明柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式 x, y 证明:
t1
f ( t ) d t 2 c r c r g r ( t ) d t c
t2 2

g r (t ) d t
r 1 t1
2

t2
1
t2
t1
f (t ) g r (t ) d t c r g r (t ) d t
t1
2 r
r 1

t2
t1
g r2 ( t ) d t 0
O
3
t
三．正交函数集
任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：
原函数 近似函数
第
25 页
基底函数 r =0,1,2,...n
第
分解原则是误差函数方均值最小
26 页
第
理解
27 页
•此公式是个通式，适合于任何正交函数集。
• 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 •正交函数集规定： 所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该 函数集是正交函数。
第 5 页
2 正齐性 对所有数 量α , 有 αx α x； 3 三角形不等式 xy x y。
1 N p p xi x p def i 1 max xi 1 i N
对于1 p 对于p
自相关函数：
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数:
第
47 页
相关函数：
自相关函数：
三．相关与卷积的比较
与 卷积表达式：
第
48 页
与 两者的关系 即
相关函数表达式：
反褶与
之卷积即得
与
的相关函数
与
为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。
第
说明
① ②
49 页
③ 相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步 骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。


2 2 f ( t ) f ( t ) d t 2 c f 1 2 t t 12 2 (t )dt 0 t2
1
t2
1
可得系数为
c12

t2
t1
f 1 (t ) f 2 (t ) d t

t2
t1
f 22 ( t ) d t
f1 ( t ), f 2 ( t ) c12 f 2 ( t ), f 2 ( t )
第
常用范数
6 页
第 7 页
这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。 (3)常用的范数 一阶范数
可见，一阶范数表示信号作用的强度。
第 8 页
二阶范数
物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。
三．内积
直角坐标平面内两矢量相对位置关系
第 9 页
利用范数符号，将矢量长度分别写作
t2
2

t2
t1
f ( t ) d t 2 c r g r ( t ) f ( t ) d t c
2 t2


因为 c r

2
t2
r 1
t1
r 1
2 r

t2
t1
g r2 ( t ) d t 0
t2 2
t1
f (t ) g r (t ) d t
t2 t1
代入
即

t2



(1)
(2)
(3)
第
20 页
先微分
再积分
d (1) f12 ( t ) 0 (因为f1 ( t )不含c12 ) d c12 d 2c12 f 1 (t ) f 2 (t ) 2 f 1 (t ) f 2 (t ) ( 2) d c12 d 2 ( 3) c12 f 22 ( t ) 2c12 f 22 ( t ) d c12
f t c12 sin t
2π
f t

4
1
o
为使方均误差最小， c12 应满足
c12
2π
π
t

0
f ( t ) sin t d t
2π

0
sin t d t
2
4 π
1 4
(a)
所以
4 f t sin t π 4 近似波形是振幅为 的正弦波, 如图虚线所示。 π
38 页
二．相关系数与相关函数
数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的 具体表现。 物理本质: 相关与信号能量特征有着密切联系。
第
39 页
1．相关系数
由两个信号的内积所决定：
第
相关系数
40 页
此时，能量误差为
第
41 页
令相对能量误差为
其中
12称为f 1 t 与f 2 t 的相关系数。
第
例6-3-1
设矩形脉冲 f t 有如下定义
1
f t
21 页
1 f t 1
0 t π π t 2π
o

2
t
1
0,2 之间内近似表 波形如图 (a)，试用正弦波 sint在区间
示此函数，使方均误差 最小。
(a)
第
22 页
0,2 内近似为 函数f t 在区间
满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。
第
一般规律
一般周期信号为功率信号。 非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。 还有一些非周期信号，也是非能量信号。 如u(t)是功率信号； 而tu(t)为非功率非能量信号;
37 页
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
第
例6-5-1