2019年全国高中数学联赛四川省预赛学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．设正六边形ABCDEF 的边长为1，则()()AB DC AD BE +⋅+=______ .2．双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，离心率为e ，过点F 且倾斜角为3π的直线与该双曲线交于点A 、B ，若AB 的中点为M ，且|FM |等于半焦距，则e =_____ . 3．满足(a +bi )6=a －bi (其中a ，b ∈R ，i 2=－1)的有序数组(a ，b )的组数是_____ . 4．已知正四棱锥Γ的高为3，侧面与底面所成角为3π，先在Γ内放入一个内切球O 1，然后依次放入球234,,,O O O ，使得后放入的各球均与前一个球及Γ的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为_____ .5．设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球(取出某色球的概率均相同)，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为ξ，则ξ的数学期望为_____ .6．已知a 为实数，且对任意k ∈[－1，1]当x ∈(0，6]时，6lnx +x 2－8x +a ≤kx 恒成立，则a 的最大值是_____ .7．已知数列{a n }满足：()*1(22n n n a n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦N ，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.设C 为实数，且对任意的正整数n ，都有121nk k k a a =+∑C ，则C 的最小值是_____ . 8．若正整数n 使得方程33n x y z +=有正整数解(x ，y ，z )，称n 为“好数”.则不超过2019的“好数”个数是_____ .9．设点A 的坐标为(0，3)，点B 、C 为圆22:25O x y +=上的两动点，满足∠BAC =90°，求△ABC 面积的最大值.10．设a ，b ，c ∈(0，1]，λ1λ+()()()111a b c ---恒成立，求λ的最大值.11．已知函数f (x )=xlnx －ax 2，a ∈R .（1）证明：当1<x <3时，22()21(3)e ex f x ax x x +-+>-；（2）设函数F(x)=|f(x)|(x∈[1，e])有极小值，求a的取值范围.参考答案1．－3 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标 系设C (1，0)，则11,22B A ⎛⎛-⎝⎭⎝⎭，11,,,22D E ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭.于是1(1,0),22AB DC ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭3,22⎛= ⎝⎭，(1,(1,(0,AD BE +=+-=-，于是3()()(0,32AB DC AD BE ⎛+⋅+=⋅-=- ⎝⎭.故答案为：3-． 2【解析】 【分析】 【详解】设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b-=-=.两式相减，得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=，所以AB的斜率为20122120b x y y k x x a y -===-又||,3FM c xFM π=∠=，所以M点的坐标为3,22c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以22b a=001x =，所以c e a ===． 3．8 【解析】 【分析】 【详解】令z =a +bi ，则6z z =，从而6||||||z z z ==. 于是||0z =或者||1z =.当||0z =时，z =0，即a =b =0，显然(0，0)符合条件； 当||1z =时，由6z z =知72||1z z z z =⋅==，注意到z 7=1有7个复数解.即有7个有序实数对(a ，b )符合条件. 综上可知，符合条件的有序实数对(a ，b )的对数是8. 故答案为：8． 4．1813π 【解析】 【分析】 【详解】设侧面与底面所成角为θ.记球O i 的半径为r i ，体积为V i ，i =1，2，3，…. 因为1cos 2θ=，故1113cos r h r r θ=+=，即1113r h ==. 定义12n n s r r r =+++，由于132(2)n n r h s n -=-，所以()132n n n r r r +-=，即113n n r r +=，所以113n n r -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故333111431343i n nni i i i i V r ππ-===⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑，所以118lim13ni n i V π→∞==∑. 故答案为：1813π． 5．12 【解析】 【分析】 【详解】设所求数学期望为E ，第一次取出的球的颜色分别为红、黄、蓝的取法的次数ξ的数学期望为E (a )、E (b )、E (c ).则E (b )=E (c ).因为第一次取出的球的颜色为红、黄、蓝的概率是相同的，所以()2()3E a E b E +=，①先考虑第一次取出的球是红色的，若第二次取出的球是红色的，则操作结束；若不然，第一个为红球，第二个球的颜色为黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法(即第一个球的颜色是黄或蓝)，则12()2(1())33E a E b =⨯++② 再考虑第一次取出的球的颜色是黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法，则()1E b E =+③ 由①、②、③，解得E =12. 故答案为：12． 6．6－6ln 6 【解析】 【分析】 【详解】由题意，对k ∈[－1，1]，6ln 8x akx x x++-在x ∈(0，6]时恒成立，所以，6ln 18x ax x x-++-在x ∈(0，6]时恒成立， 即a ≤－x 2－6lnx +7x 在x ∈(0，6]时恒成立.设h (x )=－x 2－6lnx +7x ，x ∈(0，6]，则max min ()a h x =. 所以6(23)(2)()27x x h x x x x'---=--+=. 因为x >0，所以当3,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，h '(x )>0，h (x )为增函数； 当x ∈30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2，6]时h '(x )<0，h (x )为减函数.所以h (x )的最小值为32h ⎛⎫⎪⎝⎭和h (6)中的较小者. 3939(6)6ln 6ln 612ln 202424h h ⎛⎫-=-+=+> ⎪⎝⎭，所以min ()(6)66ln 6h x h ==-，从而a 的最大值是6－6ln 6. 故答案为：66ln 6-． 7．1288【解析】 【分析】 【详解】记1222x x ==112nn n a x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦.记12nnn T x x =+，则()21211214n n n n n T x x T x x T T T +++=+-=+，而()22211221212124,218T x x T x x x x x x =+==+=+-=，因此，对任意的正整数n ，T n ∈Z .又注意到1202-<<，从而212x <，于是21111222nn n nx -+-<<.因此，1211111122n n nnn n nx x x a x +-<+-<+11112n n x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭121n n x x <++. 又注意到12121,,1nnnnn x x a x x +-++均为整数，故12nnn a x x =+. 于是214n n n a a a ++=+，且124,18a a ==.又1221212411144k k kk k k k k k k k a a a a a a a a a a a +++++++-=⋅=⋅1121114k k k k a a a a +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故11211211114nn k k k k k k k k a a a a a a ==++++⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑12121114n n a a a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭12112884n n a a ++=-.显然a n >0，于是214n n a a ++>，从而224(2)n n a a n -，故121lim0n n n a a →∞++=.因此，1211288nk k k a a =+<∑，且1211lim 288n n k k k a a →∞=+⎛⎫= ⎪⎝⎭∑. 所以，常数C 的最小值为1288. 故答案为：1288． 8．1346 【解析】 【分析】 【详解】首先易知若n 为“好数”，则n +3也是“好数”又显然1、2是“好数”，从而当1,2(mod3)n ≡时，n 均为“好数”.由费马(Fermat )大定理知：333x y z +=无正整数解，即3不是“好数”.于是n =3k (k ∈N *)都不是“好数”.否则，存在k ∈N *，使得3k 是“好数”，即方程333kx y z+=有正整数解(x ，y ，z 0)，从而333x y z +=有正整数解()000,,kx y z ，矛盾！故当且仅当n 满足1,2(mod3)n ≡时，n 为“好数”.所以，不超过2019的“好数”个数是2201913463⨯=. 故答案为：1346．9 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，设()()1122,,,B x y C x y ，P (x ，y )为线段BC 的中点.则121225y x =+①222225x y +=②()()1212330x x y y +--=③12122,2x x x y y y +=+=④由①、②、③、④可知：2238x y y +-=，即222322x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，线段BC 的中点P 的轨迹是⊙O 1，其方程为：222322x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是113||22AP AO O P +=+， 从而△ABC 面积1||||2S AB AC =⋅()221||||4AB AC +221||||4BC AP ==234125222⎛++= ⎝⎭， 当点P 的坐标为30,2⎛ ⎝⎭时，上式可取到等号.所以，△ABC 面积的最大值是252+. 10．6427【解析】 【分析】 【详解】一方面，取14a b c ===时，得6427λ. 另一方面，6427λ=641(1)(1)(1)27a b c +---. 事实上，注意到：3(1)(1)(1)13a b c a b c ++⎛⎫---- ⎪⎝⎭，令a +b +c =3x 2，其中x >0，则0<x ≤1.只须证()321641127x x +-33164(1)(1)27xx x x -⇔-+ 23641(1)(1)27x x x ⇔-+（*） 由均值不等式知：32321(1)(1)27(1)3x x x x x x +⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭612(1)33276x x x ⎛⎫+⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2764=. 于是23646427(1)(1)1272764x x x -+⨯=，故(*)成立. 综上可知，λ的最大值是6427.11．（1）证明见解析（2）10e a <<或11e 2a << 【解析】 【分析】 【详解】（1）设2()()2ln 2g x f x ax x x x x =+-+=-+，则()ln g x x '=.当1<x <3时，g '(x )>0，因此，g (x )在(1，3)上单调递增，所以，()(1)1g x g >=；设()(3)e x h x x =-，则()(2)e xh x x '=-.当1<x <2时，h '(x )>0； 当2<x <3时，h '(x )<0因此，h (x )在(1，2)上单调递增，在(2，3)上单调递减. 所以，h (x )的最大值为h （2）=e 2，即0<(3－x )e x ≤e 2.所以2110(3)e ex x >-. 又因为f (x )+ax 2－x +2>1，所以22()21(3)e exf x ax x x +-+>-. （2）2ln ()|()|,[1,]xF x f x xa x e x==-∈. 令ln (),[1,]x t x a x e x =-∈，则21ln ()xt x x'-=. 当x ∈[1，e ]时，t '(x )≥0，故t (x )在[1，e ]上单调递增. 于是t （1）≤t (x )≤t (e )，即1()ea t x a --. (i )当－a ≥0，即a ≤0时，t (x )≥0，于是2()ln ,[1,e]F x x x ax x =-∈， 则()ln 120F x x ax '=+->，从而F (x )在[1，e ]上单调递增. 所以，F (x )在[1，e ]上无极值点. (ii )当10ea -<，即1e >a 时，t (x )<0，于是2()ln ,[1,]F x ax x x x e =-∈.则()2ln 1F x ax x '=--，1()2F x a x''=-，因为11,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ①当2a ≥1，即12a 时，F "(x )≥0，故F '(x )在[1，e ]上单调递增. 又因为F '（1）=2a －1≥0，故F (x )在[1，e ]上单调递增，所以，F (x )在[1，e ]上无极值点. ②当11e 2a <<时，由1()20F x a x ''=-得1e 2x a. 于是F '(x )在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,e 2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 又因为F '（1）=2a －1<0，F '(e )=2ae －2>0，故存在0(1,e)x ∈，使得()00F x '=. 因此，F (x )在[)01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增.所以，F (x )在[1，e ]上有一个极小值点(iii )当1e a =时，2()ln 1e F x x x '=--，由21()0e F x x ''=->得e 2x >. 于是F '(x )在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 又2(1)10,(e)0eF F ''=-<=，从而F '(x )≤0在[1，e ]上恒成立. 所以，F (x )在[1，e ]上无极值点(iv )当10e a <<时，因为t (x )在[1，e ]上单调递增，于是存在x 0∈(1，e )，使得00ln x a x =. 因此，当[]01,x x ∈时，t (x )≤0；当[]0,e x x ∈时，t (x )≥0. 从而2020ln ,1()ln ,e ax x x x x F x x x ax x x ⎧-=⎨-<⎩于是0021ln ,1()ln 12,e ax x x x F x x ax x x --⎧=+-<⎩'⎨令2()ln ,[1,]k x ax x x x e =-∈，则()2ln 1k x ax x '=--.下面证明k '(x )≤0，即证2ax ≤lnx +1，即ln 12x a x+.又2ln 1ln 0x x x x '+⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故min ln 12e x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭. 即证1ea ，所以结论成立，即k '(x )≤0. 注意到()01,[1,]x e ⊂，故F (x )在[)01,x 上单调递减，在(]0,e x 上单调递增. 因此，0x 为F (x )的极小值点综上所述，当10e a <<或11e 2a <<时，F (x )在[1，e ]上有极小值点.。