则f ( x)的 值 域 是( ) D
A.[ 9 ,0] (1, ) 4
B.[0, )
C.[ 9 , ) 4
D.[ 9 ,0] (2, ) 4
x2 2 x 4，x x2 2
f
(x)
x
2
2
x，x
x2
2
x2 x 2，x 1或x 2
f
(x)
x
2
x
2， 1
x
2
八、线性规划法 【例 8】已知点 P(x，y)的坐标同时满足以下不等式： x＋y≤4，y≥x，x≥1，如果点 O 为坐标原点，那么
求函数最值问题的 常用方法
二、函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单
调性求函数的最值．这种求解方法在高考中是必考 的，且多在解答题中的某一问中出现．
【例 2】函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最大值与最
小值之差为12，则 a＝________. 4或 1 4
【变式】函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最大值与最 小值之和为 4，则 a＝________.
∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2 的定
义域为[2，＋∞)．
∵抛物线 y＝f(t)的对称轴为 t＝a，
∴当 a≤2 且 a≠0 时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当 a>2 时，ymin＝f(a)＝a2－2.
换元法
六、不等式法
常常使用的基本不等式有以下几种：
2
所以f
(
x)
| |
x x
1 2
|, |,
x x
1 2 1 2
, ,
其图象如图所示.
由图形易知,当x 1 时,函数有最小值, 2
所 以f ( x)min
f (1) 2
1 1 2
3 .故 填 3 .
2
2
【 练 习 】(天 津)函 数g( x)
x2
2,
f
(x)
g(x)
g(
x)
x 4，x g( x) x，x g( x)
af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑
用配方法．
【例 5】已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，
a≠0)，求函数 y 的最小值．
配方法
解析 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.
令 t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.
值是______．
分析：a2 b2 1
63
令 a＝ 6cos α， b＝ 3sin α，α∈R.
椭圆的 参数方
∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)． 程
∴a＋b 的最小值是－3.故填－3.
【练习】求值域：y x - 1- 2x
五、配方法
配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F(x)＝
2
三、导数法 利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数
在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值 f(a)、 f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函 数的最值．
【例 3】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
解析 因为 f′(x)＝3x2－3，所以令 f′(x)＝0，得 x＝－1(舍 正)．又 f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的 最大值为 3，最小值为－17.故填 3，－17.
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，
1
1
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得 ymax＝7，ymin＝7.
的分式函数的最值． 【例 10】求函数 y＝xx22－ ＋33xx＋ ＋44的最大值和最小值．
解析 ∵x2＋3x＋4>0 对一切 x∈R 均成立．
∴函数的定义域为 R.
∴函数表达式可化为(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0.
当 y＝1 时，x＝0；
当 y≠1 时，由 x∈R，上面的一元二次方程必须有实根，
【 练 习 】 求y x2 2x 3 ,( x 1)的 最 小值. 2
x1
注：分子转化为分母的形式
七、数形结合法
【例 7】对 a，b∈R，记 max|a，b|＝ab，，aa≥<bb，， 函数 f(x) ＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．
解析 由|x＋1|≥|x－2|，得(x+1)2≥(x-2)2，所以 x≥ 1 .
【练习】将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行 于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形
，记
s
（
梯梯形形周面长积）2 ,则S的最小值是____▲_
设剪成的小正三角形的边长为x
(3 x)2
4 (3 x)2
s(x) 1 (x 1)
3 (1 x)
3
1 x2
2
2
4 2(3x 1)( x 3)
x2 y2 的最小值等于________，最大值等于________．
画出可行域，如图所示． 由条件，得 A(2,2)，|OA|=2； B(1,3)，|OB|= 10 ；
C(1,1)，|OC|= 2 .
故最大值为 10 ， 最小值为 2 . 【练习】求 y 的最大最小值.
x2
十、判别式法
把函数转化为 x 的二次方程 F(x，y)＝0，通过方程 有实根，判别式 Δ≥0，从而求得函数的最值．判 别式法多用于求形如 y＝adxx22＋＋bexx＋＋cf(a，d 不同时为 0)
s'( x) 3
(1 x2 )2
1 32 3 s(x)min s( 3) 3
x (0, 1], s'( x) 0,递减；x (1，1), s'( x) 0,递增；
3
3
四、换元法 换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元
【例 4】设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小
【例aa2b6＋≤】ba设＋22≥2xb，a2b≤y(，aa2，z＋2b为b为正2(实 a实，数数b，)； 为xa－实＋22数yb＋≥)．3za＝b(0a，≥0则，by≥20)；
的最小值为________．
xz
解析 y＝x＋23z，所以xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz≥6xz4＋xz6xz＝3, 当且仅当 x＝3z 时取“＝”．