一元二次方程的有理根总结求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系，也就是说，常常利用根的判别式为完全平方数来讨论。

1、 如果()112++-x m x 是完全平方式，求m 的值 2、 若20052+a 是整数，求所有满足条件的正整数a 的值3、关于x ，y 的方程29222=++y xy x 有整数解，求满足条件的()y x ,的值 4、设k 为整数，且0≠k ，方程()0112=+--x k kx 有有理根，求k 的值。

5、当q 是什么实数时，对于任意有理数p ，方程()()0431222=+--++q p p x p x 有有理根？ 6、已知关于x 的方程()01212=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有_________个。

7、已知a 是正整数，且使得关于x 方程()()0341222=-+-+a x a ax 至少有一个整数根。

求a 的值。

8、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程()02322=-+++r x r rx 有根且只有整数根。

9、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx2+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根．10、已知p 为质数，使一元二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值。

11、已知198=+q p ，求方程02=++q px x 的整数根。

12、设关于x 的二次方程()()4462862222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数。

求满足条件的所有实数k 的值。

13、已知关于x 的方程()01122=-+--m x m x 的两个根都是正整数，求m 的值。

一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．求有整数根的二次方程中，参数问题，要根据方程的结构特点，设法将二次方程转化为两个一次式，再根据整数根确定其解。

其转化途径：或直接分解因式；或利用根与系数的关系；或利用求根公式。

求二次方程的整数根常用的数学思想方法是分类讨论，但在运用时，要具体问题具体分析。

方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵ 2b ak -+或2b ak -=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围． 例题一、一元二次方程的公共根例1求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．例2设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC ∆一定是直角三角形．例3三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求333a b c abc++的值．例4试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根．例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值．二、一元二次方程的整数根例6：k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数？例7：若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．例8：已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．练习1、若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．练/2、关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．练/3、当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．练习/4已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．练习/5求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数．练习6/已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．练习7、已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．练/8、已知p 为质数，二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值．练/9已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．练习10、若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ≠均为整数，且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩．试求这个直角三角形的三边长．练习11、关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的/1．练习12、已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．练/13、当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．练/14、设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．练/15、当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．练/16、已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．练/17、若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．/18设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．19已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．20已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求a 的值．21已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．22已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．23已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x ''，且120x x >，120x x ''>． ⑴ 求证：10x <，20x <，10x '<，20x '<； ⑵ 求证：11b c b -+≤≤；⑶ 求,b c 所有可能的值．24设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根．25试证不论n 是什么整数，方程21670s x nx -+=没有整数解，方程中的s 是任何正的奇数．26求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解．27已知a 为整数，关于,x y 的方程组23(2)(1)22x y a xxy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解，求a 的值．28求方程2237x y x xy y+=-+的所有正整数解．29求所有的整数对(,)x y ，使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++．30设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值．31当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．32a 是正整数，关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．33已知,a b 是实数，关于,x y 的方程组32y x ax bxy ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ，求,a b 满足的关系式．34已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值．35设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．36b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？37已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个．38求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根．39方程()(8)10x a x ---=有两个整数根，求a 的值．40求所有的正整数a ，b ，c 使得关于x 的方程222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=的所有的根都是正整数．41n 为正整数，方程21)60x x -++-=有一个整数根，则n =__________．42求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根．43已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则整数a 的值是__________．44不解方程，证明方程2199719970x x -+=无整数根45已知方程219990x x a -+=有两个质数根，则常数a =________．46已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根，求m 的值．47当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？48设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．49已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．50若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．51设a 为质数，b c ，为正整数，且满足()()2922509410225112a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值．。