2012-11-21
第三章 二维随机变量
(ii)并联情况
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
由于当且仅当 L1 , L2 都损坏时, 系统 L 才停止工作, 所以这时 L 的寿命为 Z max( X ,Y ). Z max( X ,Y ) 的分布函数为
(1 e αz )(1 e βz ), z 0, Fmax ( z ) FX ( z ) FY ( z ) z 0. 0, αe αz βe βz (α β )e ( α β ) z , z 0, fmax ( z ) z 0. 0,
设一年中7、8月份的长江最高洪峰分别为X,Y, Z=max(X,Y)有助于安全标准的制定。
2012-11-21
第三章 二维随机变量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
1、和的分布Z=X+Y 2、极值分布Z=min(X,Y),max (X,Y)
2012-11-21
第三章 二维随机变量
二、离散型随机变量函数分布
2012-11-21
第三章 二维随机变量
故有
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
Fmax ( z ) FX ( z )FY ( z ),
Fmin ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )].
2012-11-21
第三章 二维随机变量
设系统L由两个相互独立的子系统 L1 , L2
第五讲 二维随机变量函数
周世祥 山东理工大学理学院 2012年11月22日
2006-05-15
一、问题的引入
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
二、离散型二维随机变量的函数 三、连续型二维随机变量的函数
四、小结
2012-11-21
第三章 二维随机变量
一、问题的引入
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
2012-11-21
第三章 二维随机变量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
即: 若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)， 则 X+Y～B(n1+n2,p)
二项分布的可加性
类似可得: 若X,Y相互独立,X~π(λ1),Y~π(λ2), 则 X+Y~π(λ1+λ2)
Possion分布的可加性
P{ X C
k1 n1
1
k1 , X 2 k 2 }
k1 n1 k1
p (1 p )
C p (1 p )
k2 n2 k2
n2 k 2
k1 k 2 k

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k1 k 2 k
k k C n11 C n22 p k (1 p) n1 n2 k
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为 Y 2 4 X 1 3
P P 0.3 0.7 求随机变量 Z=X+Y 的分布律.
解答略： Z X Y pk
0.6
0.4
3 0.18
5 0.54
7 0.28
2012-11-21
第三章 二维随机变量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
例1 设随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为 X Y 0 1
0
1
3/10
3/10
3/10
1/10
求 (1) Z1 X Y , (2) Z 2 XY , （3）Z 3 max{ X , Y } 的分布律.
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第三章 二维随机变量
当 z 0 时, f ( z ) 0,
于是 Z X Y 的概率密度为 αβ [e αz e βz ], z 0, f (z) β α 0, z 0.
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第三章 二维随机变量
推广
设 X 1 , X 2 ,, X n 是 n 个相互独立的随机变
解 (i)串联情况
由于当 L1 , L2 中有一个损坏时, 系统 L 就停止工作,
所以这时 L 的寿命为
Z min( X ,Y ).
2012-11-21
第三章 二维随机变量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
αe αx , x 0, 由 f X ( x) x 0, 0,
第三章 二维随机变量
k k k 由 C n11 C n22 C n1 n2得 k1 k 2 k
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
P{Y k} C
k n1 n2
p (1 p)
k
n1 n2 k
所以Y=X1+X2服从二项分布B(n1+n2,p)
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
量, 它们的分布函数分别为 FX i ( xi ), ( i 1,2,, n)
则M max( X 1 , X 2 ,, X n )及N min( X 1 , X 2 ,, X n ) 的分布函数分别为 Fmax ( z ) FX1 ( z ) FX 2 ( z ) FX n ( z ),
fZ (z) 或 fZ (z)


f X ( z y ) fY ( y ) d y ,
f X ( x ) fY 第三章 二维随机变量
例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正 态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
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第三章 二维随机变量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
αe αx , x 0, f X ( x) x 0, 0,
βe βy , y 0, fY ( y ) y 0, 0,
其中 α 0, β 0 且 α β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度.
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
联接而成, 连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii) 备用(当系统 L1 损坏时, 系统L2 开始工作 ), 如 图所示. X L1
Y L2
L1 L2
X Y
L1 X Y L2
设 L1 , L2 的寿命分别为 X ,Y ,已知它们的概率密 度分别为
第三章 二维随机变量
得
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
1 fZ (z) e 2
1 e 2
z2 4

x2 2
e
( z x )2 2
dx
dx
e


z 2 x 2
z t x 2
1 e 2
z2 4
e
t 2
fZ (z)


z
由此可得概率密度函数为
f ( z y, y ) d y.
由于X 与Y 对称, f Z ( z )
f ( x , z x ) d x .

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第三章 二维随机变量
当 X, Y 独立时, f Z (z )也可表示为
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
解
1 e 由于 f X ( x ) 2 1 fY ( y ) e 2
x2 2
, x , , y ,
y2 2
由公式
fZ (z)
f X ( x ) fY ( z x ) d x ,

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Z ~ N ( μ1 μ2 , σ σ ).
2 1 2 2
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合 仍然服从正态分布.
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第三章 二维随机变量
3. M max( X , Y )及N min( X , Y )的分布
设 X ,Y 是两个相互独立的随机变量, 它们
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
例3* 设随机变量X1与X2相互独立，分别服 从二项分布b(n1,p)和b(n1,p)，求Y=X1+X2 的 概率分布.
解 依题知Y的可能取值为0,1,2,...,n1+n2,因 此对于k (k= 0,1,2,...,n1+n2)，由独立性有
P{Y k}
k1 k 2 k
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第三章 二维随机变量
三、连续型随机变量函数分布
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
1. Z=X+Y 的分布
设( X ,Y )的概率密度为f ( x , y ), 则Z X Y 的分布函数为
FZ ( z ) P{ Z z }
[
z y
Fmin ( z ) 1 [1 FX1 ( z )][1 FX 2 ( z )][1 FX n ( z )]. 若 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立且具有相同的分布函数
dt
1 2
e
z2 4
.
即 Z 服从 N (0,2) 分布.
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第三章 二维随机变量
说明
2 一般 , 设X ,Y相互独立且X ~ N ( μ1 , σ1 ),Y ~ 2 N ( μ2 , σ 2 ).则 Z X Y 仍然服从正态分布 , 且有
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量
第 三 讲 相 互 独 立 的 随 机 变 量