一、正项级数及其审敛法
定义 若级数
u
n 1

n
满足 un 0,(n 1, 2, 3,)
则称该级数为正项级数．
定理1 正项级数
u
n 1
n
收敛的充分必要条件是：
部分和数列 { Sn } 有上界．
1 例如 讨论级数 2 的敛散性. n 1 n

定理2（比较审敛法） 设 un和 vn均为正项级数，
则 (1) 当 0 l 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 l 0 时，若


比较审敛法的极限形式

v n 收敛 , 则 un 收敛 ; n 1
n 1
(3) 当 l 时 , 若
v n 发散 ,则 un 发散 .
n 1 n 1


备注：一般情况下，vn 取P-级数或几何级数 。
3. ( arctan n)cos n. n 1 2
思考题
( 1) n 1. n1 n 2 x (1 x ) 0 ( x 2) ) 解 ( 2 x 1 2 x ( x 1)
n
x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 又 lim un lim 0. n n n 1


1 4. p n 1 n

( p 0)
P -级数
y
1 p x
0
1
2
3
4
n-1
n
n+1
x
5.

n 2

1
3
n2 1
练一练
1.
2. 3.

n 1

1 n 3 100
1 n4

n 1

n 1
1 2 (3n 1)
定理3
un l, 设 u n 与 v n 都是正项级数 , 如果 lim n v n n 1 n 1
故原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义1
对于级数 un ，若 un 收敛, 则称 un 为
n 1


n 1
n 1
绝对收敛;
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n 1 n 1 n 1



1 1 (( 1) 1) 2 例如 讨论级数 n n n 1 n 1
n
1 , 6
lim a2 n1
n
3 , 2
un1 lim lim an 不存在. n u n n
例3 判断下列级数的敛散性:
1 1. n 1 n!

n! 2. n n 1 10

1 3. n 1 (2n 1) 2n
un1 ( 2n 1) 2n lim 1, 解 lim n u n ( 2n 1) ( 2n 2) n
(1) 0 (2)
1 时级数收敛;
1 时级数发散; (3) 1 时级数可能收敛 , 也可
能发散.
比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: (1) 当 1时比值审敛法失效;
1 例 级数 发散, n 1 n

1 级数 2 收敛, n 1 n

( 1)
定理5（莱布尼兹判别法）
如果交错级数满足条件: (ⅰ) un un 1 ( n 1,2,3,) ; (ⅱ) lim un 0,
n
则级数收敛,且其和 s u1 .
例4 判断下列级数的敛散性:
( 1)n 1. n n 2

2.
(1)
n 1

n 1
n 3 n 1
(2)条件是充分的,而非必要.
2 ( 1) 3 例 un n vn , n 2 2
n
2 ( 1)n 级数 un 收敛, n 2 n 1 n 1


un1 2 ( 1)n1 但 an , n un 2( 2 ( 1) )
lim a2 n
(比值审敛法失效, 改用比较审敛法)

1 1 又 2 , 而级数 (2n 1) 2n n 1 级数 收敛. n 1 2n ( 2n 1)
1 收敛, 2 n 1 n

例3 判断下列级数的敛散性:
n 4. 2 n 1 ( n! )
解

n
( n 1) n 1 un 1 [(n 1)!]2 lim lim n n u n n n ( n! ) 2 1 1 n lim (1 ) 0 n n 1 n
使用比较审敛法常用的三个结论:
(1) 等比级数 aq n ,当 | q | 1时收敛； 当 | q | 1时发散.
n 0
1 ( 2) 调和级数 发散. n 0 n 1 (3) 2 ( p 0) 收敛 n 1 n

例1 判断下列级数的敛散性:
1 1. n 1 3n 2 n n 2. ( ) n 1 2n 3 1 3. n 1 (2n 1)(2n 3)
例2 判断下列级数的敛散性:
1 1. sin n n 1

1 2. n n 1 3 n

n 3. n1 ( n 1)(2n 5)

定理4
比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)

un 1 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n ( 为常数或 ) ,则有
n 1


且 un v n ( n 1, 2,) ,若 vn 收敛,则 un 收敛；
反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n 1 n 1

n 1

n 1
n 1
备注：1）若判断级数收敛，则需找比该级数大的级 数收敛，可通过适当放大方法解决。 2）若判断级数发散，则需找比该级数小的 级数发散，可通过适当缩小方法解决。
nn 级数 收敛. 2 n 1 ( n! )

练一练
ห้องสมุดไป่ตู้判断下列级数的敛散性:
n! 1. 2 ; n 1 n

二、交错级数及其审敛法
定义

正、负项相间的级数，即形如

n 1 n ( 1) u 或 ( 1) un n n 1 n 1
(其中un 0)
则称为交错级数.