任意项级数敛散性判断
下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 ()
∑
∞
=--1
1
11n n n
2、 ()∑∞=--1131n n n
n
3、 ()
∑∞=+121sin n n na
4、 ()()011>-∑∞=a na n n
n
5、 ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+2ln 1sin n n n π
6、 +-+-+-
332210
3
211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11
2
212
12121n n n n n 8、 ()()
[]
()01111
>-+-∑∞=-p n n p n n
答 解：1、()
∑
∞
=--1
1
11n n n
取绝对值 ()∑
∑∞=∞
=-=-1
11
1
1n n n n
n >∞
（ 2
1
=p 的p 级数）
而原级数是交错级数
且： 01lim 1
111==<+=∞
→+n
u n
n u n n
n
由莱布尼兹定理，原级数收敛。

所以是条件收敛。

2、()∑∞
=--113
1n n n
n
13111lim 313
31lim lim 11<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n
绝对值级数 ()∞<-∑∞
=-113
1n n n
n
所以原级数绝对收敛
3、()
∑∞
=+12
1sin n n na
()()
22111sin +≤+n n na ()
∑∞
=+1211n n 是p=2 的p 级数。

收敛！ 所以由比较判别法，原级数绝对收敛 4、()
()011>-∑
∞
=a na
n n
n
()111lim lim 11<=+=+∞
→+∞→a
a n na u u n n n n n a>1 时原级数绝对收敛 0<a<1 时 ()
01lim lim ≠-=∞
→∞
→n
n
n n
n na
u 级数发散
（ 0ln 1
lim lim lim =-==-∞
→∞
∞
-∞→∞→a a a n na n n n n n
n ())01lim ≠∞=-∴∞
→n n
n na a=1 时 ()∑∞=-11n n
n
满足莱布尼兹定理，
原级数条件收敛
5、 ∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+2ln 1sin n n n π
n
n n
n n n ln 1sin cos ln 1cos
sin ln 1sin ⋅+⋅=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+πππ ()n n n n n n ln 1sin
1ln 1sin 11-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∑∑∞=∞
=π 因为当x y x sin 2,0=⎪
⎭⎫
⎝⎛∈π 单调递增 且
()n
n n u n
n u n
=<+==+∞
→ln 1
sin 1ln 1sin 0ln 1
sin lim 1
∞<⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∴∑∞
=1ln 1sin n n n π
所以原级数条件收敛
6、 +-+-+-
3322103
211032110321 b a b a +≤+
∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-110321n n n ∑∞=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+110321n n n
设： n n n
n v u 10
321
==
∞<∞
<∑∑∞
=∞
=1
1
n n n n v u
所以原级数绝对收敛
7、()()()
∑∞
=+-+-+1
1
2
2
12
12121
n n n n n
()()12
1122232lim lim 21
22
1<=+⋅+=++∞
→+∞→n n u u n n n n n n 所以原级数绝对收敛
8、 ()()[]()01111
>-+-∑∞
=-p n n p n n ()()[]
∑∞=--+-11
11n p n n n
()[]()1111lim
1
11
lim
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=-+∞
→∞
→p
n
n p p
n n n n
n
p>1 原级数绝对收敛 p ≦1 原级数发散
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。

可复制、编制，期待你的好评与关注）。