专题四 三角函数与解三角形
第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
2019年
1.（2019北京9）函数
的最小正周期是 ________.
2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5
x ωπ
+
）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,
10
π
）单调递增 ④ω的取值范围是[1229
510
，)
其中所有正确结论的编号是
A ． ①④
B ． ②③
C ． ①②③
D ． ①③④
3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π
，且π4g
=
，则3π8f =
A.2−
B.
D.2 4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0，
2
π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=
A ．
15
B
C
D
5.（2019江苏13）已知tan 2
π3tan 4αα=−
+
，则πsin 24α + 的值是_________.
6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =
∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124
y f x f x ππ
=+
++ 的值域. 2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅲ)若1
sin 3
α=，则cos 2α= A ．
89
B ．
79
C ．79
−
D ．89
−
2．（2016年全国III ）若3
tan 4
α=
，则2cos 2sin 2αα+= A ．
6425 B ．4825 C ．1 D ．1625
3．（2016年全国II ）若3
cos(
)45
π
α−=
，则sin 2α=（ ） A ．725 B ．15 C ．1
5
− D ．725− 4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10−=
o
o
o
o
A
． B
．12
− D ．1
2
5．（2015重庆）若tan 2tan
5
π
α=，则
3cos()10sin()
5
π
απ
α−
−＝
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则
A ．0sin >α
B ． 0cos >α
C ． 02sin >α
D ． 02cos >α 7．（2014新课标Ⅰ）设(0,
)2π
α∈，(0,)2π
β∈，且1sin tan cos βαβ
+=
，则 A ．32παβ−= B ．22παβ−= C ．32παβ+= D ．22
π
αβ+=
8．（2014江西）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则
2222sin sin sin B A
A
−的值为（ ）
A ．19
− B ．
13 C ．1 D ．72
9．(2013新课标Ⅱ)已知2sin 23α=，则2
cos ()4
πα+=
（ ） A ．16 B ．13 C ．12
D ．23
10．（2013浙江）已知2
10
cos 2sin ,=
+∈αααR ，则=α2tan A ．
34 B ．4
3 C ．43
− D ．34−
11．（2012山东）若
∈2,4ππθ，8
7
32sin =
θ，则=θsin A ．
53 B ．54 C ．47 D ．4
3
12．(2012江西)若
sin cos 1
sin cos 2
αααα+=−，则tan2α=
A ．−34
B ．3
4
C ．−43
D ．43
13．（2011新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线
2y x =上，则cos 2θ=
A ．45−
B ．35−
C ．35
D ．45
14．（2011浙江）若02
π
α＜＜
，02
π
β-
＜＜，1
cos()43π
α+=
，cos()42πβ−cos()2
β
α
+
=
A
B
．C
D ． 15．（2010新课标）若4cos 5α=−
，α是第三象限的角，则
1tan
21tan 2
α
α+=− A ．12
−
B ．
12
C ．2
D ．-2
二、填空题
16．(2018全国卷Ⅰ)已知函数()2sin sin 2=+f x x x ，则()f x 的最小值是_____． 17．(2018全国卷Ⅱ)已知sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，则sin()+=αβ___．
18．（2017新课标Ⅱ）函数2
3()sin 4f x x x =+−
([0,])2
x π
∈的最大值是 ． 19．（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关
于y 轴对称．若1
sin 3α=
，则cos()αβ−=___________． 20．（2017江苏）若1
tan()46
πα−=，则tan α= ． 21．（2015四川）=+o
o
75sin 15sin ．
22．（2015江苏）已知tan 2α=−，()1
tan 7
αβ+=，则tan β的值为_______． 23．（2014新课标Ⅱ）函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+−+的最大值为____． 24．（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若1
tan 42
πθ
+=
，则sin cos θθ+=___． 25．（2013四川）设sin 2sin αα=−，(
,)2
π
απ∈，则tan 2α的值是_____．
26．（2012江苏）设α为锐角，若4cos 65απ +=
，则sin 212απ
+ 的值为 ．
三、解答题
27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4
tan 3
α=
，cos()αβ+． (1)求cos 2α的值； (2)求tan()αβ−的值．
28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过
点3
4(,)55
P −−． (1)求sin()απ+的值；
(2)若角β满足5sin()13
αβ+=，求cos β的值．
29．（2017浙江）已知函数22()sin cos cos f x x x x x =−−()x ∈R ．
（Ⅰ）求2(
)3
f π
的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 30．(2014江苏)已知),2(ππ
α∈，5
5sin =α．
(1)求)4
sin(απ
+的值；
(2)求)26
5cos(
απ
−的值． 31．（2014江西）已知函数()()
()θ++=x x a x f 2cos cos 22
为奇函数，且04=
πf ，其中()πθ，，0∈∈R a ． （1）求θ，a 的值；
（2）若 ∈−=
ππαα，，
2524f ，求 +3sin πα的值．
32．（2013广东）已知函数(),12f x x x R π
=
−∈
．
(1) 求3f π
的值； (2) 若33cos ,,252πθ
θπ
=∈
，求6f πθ
−
．
33．（2013北京）已知函数2
1
()(2cos 1)sin 2cos 42
f x x x x =−+
（1）求()f x 的最小正周期及最大值；
（2）若(
,)2
π
απ∈，且()f α=
，求α的值． 34．（2012广东）已知函数()2cos()6
f x x π
ω=+
，
（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π． (1)求ω的值； (2)设,[0,
]2π
αβ∈,56(5)35
f απ+=−,516
(5)617f βπ−=
,求cos()αβ+的值．。