弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响
摘 要：从能量的观点出发，通过对有弹簧质量弹簧振子的振动实验进行研究，分析弹簧振子振动周期与弹簧质量的关系。
关 键 词：弹簧振子；弹簧质量；振动周期
振动作为自然界中最为普遍的运动形式之一, 在物理学的基础理论研究中具有显著地位, 正确理解与掌握振动的客观规律对于深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有十分重要的理论意义和实践意义。
作为自然界各种振动形式中最简单的一个抽象物理模型——简谐振子, 由一质量为m 的质点和一劲度系数为k 的无质量理想弹簧所组成, 其振动周期为
2T = (1)
在高中和大学物理中，弹簧质量对振动的影响往往被忽略。
显然，这在弹簧质量远小于振子质量的情况下是可行的。
但在一些实际问题中，人们往往会用弹簧的有效质量来对理想的弹簧振子振动周期公式进行修正。
查阅相关资料可知，由机械能守恒定律计算出有效质量为031
m （其中0m 为弹簧质量）；进一步由质心运动定理却得出有效质量为
02
1
m ，从而得到 “弹簧振子佯谬”；而利用数值计算解超越方程的方法，得出“有效质量随振子与弹簧质量比的增大而减小”，“当振子与弹簧质量比较大时，有效质量可小于03
1
m ”，“不能简单地认为有效质量介于031m 和
02
1
m 之间”等结论。
理论繁杂冗乱，令人眼花缭乱。
本文通过对弹簧振子垂直地面放置的模型进行分析，并通过解微分方程，得出最终的周期公式。
考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期（弹簧与地面垂直情况）
查阅资料可知，弹簧振子的周期T 与劲度系数k 、振子质量m 有关，在弹簧质量不可忽略时，还要考虑弹簧自身质量0m 的影响，则弹簧振子的振动周期公式可写为：
k Cm m T 0
2+=π
(2)
式中0Cm 即为弹簧的有效质量，C 为待定系数，在下文中称为“有效质量系数”。
为了验证该公式并分析在弹簧与地面垂直情况下有效质量系数的大小，可以对该模型进
行进一步分析。
设弹簧质量为M ，劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在平衡位置时弹簧长度为L ，平衡时弹簧的拉伸量为x2，此时由于受力平衡，则
20kx mg Mg -++=，则2mg Mg kx +=。
假定弹簧各截面的位移按线
性规律变化，从弹簧的固定点P 向下取一点Y （取PY=y ，y 《=L+x ），
并在此处截取一小位移元dy ，则()dy d L x dx
y L x L x +==
++，即dx
dy y
L x =+，如图所示。
振动物体重力势能为
1p E mgx
=-；振动物体动能为
211()2k dx E m dt =。
令
M L x λ=
+，y+dy 处的动能为22
211()()
22k dy y dx dE dM dy dt L x dt λ==+，
整个弹簧动能为
22
20
1()()26L x
k y dx M dx E dy L x dt dt λ+==+⎰。
因弹簧质心下移12x ，则弹簧的重力势能为21
2p E Mgx
=-，弹簧的弹性势能为2321
()2p E k x x =
+。
将振动系统和地球作为一个整体且不考虑各种阻力影响，由机械能守恒定律得
22224111
()()()2622dx M dx m mgx Mgx k x x C dt dt -+-++=
对上式整理并对t 求导，得
22
2d x x q dt ω+=，其中
23k M m ω=
+
，23M
q g M m =-+
，其中ω=
由此得
22T π
ω
=
=
实验探究：考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期
本学期物理实验课程中有“探究弹簧振子周期公式”的实验，利用该实验的实验器材和实验方法，可以进一步探究和验证理论得到的结果。
实验中采用SP-2型弹簧振子实验仪测量弹簧的质量和周期；用MP2002
型电子天平校准
各砝码和弹簧的质量。
实验中使用的砝码和弹簧情况如下：
砝码：共6只，编号0、1、2、3、4、5。
质量分别为19.32g 、50.82g 、55.22g 、60.12g 、64.84g 、69.37g 。
弹簧：共10根，质量从小到大编号为1~10，其质量和劲度系数如表1所示。
表1 弹簧的固有参数
表2 振子的振动周期
振动周期的测定，采用累计法测50次求得，并且测量3组取平均值，具体方法可参见钱峰主编的《大学物理实验》教材，实验中测得的振动周期如表2所示。
式（2）中C 值反映了弹簧质量对振子周期影响的大小。
根据实验测得的周期，绘出T-m 关系曲线，可以求出每根弹簧对应的C 值，然后再画出0
C m m
关系曲线，如图所示。
从图中可以清楚地看到：大多数的点的C 值都在
3
1
左右附近，基本可以验证了理论推导的C 值。
弹簧的C 值不是一个定值，它会随着弹簧的不同而改变，所以在式（2）中，对于不
同的弹簧要代入不同的值。
对于本文中讨论的竖直方向振动的振子模型中，C 取
3
1
比较合适。
分析讨论
由于弹簧振幅逐步变小，成了阻尼振动，周期会略有变小，比例系数略有增大．因此，综合以上实验结果，在工程计算和实验时通常采用
2T =进行分析，应该相对比较接近实际结果．其中m 为振子质量，
0m 为弹簧质量。
在高中物理教学的相关实验中，经常采用理想化模型的“轻质弹簧”，如果在实验中需要忽略弹簧的质量，那么可以用上式进行分析．如果把实验误差控制在3％
范围内，要求
13%
T T T -===
得到
05.47m m =
因此，物理实验中可以选择振子质量大于弹簧质量的5倍，就可以基本满足“轻质弹簧”
的理想化模型要求。
当然，以上的理论分析只是一种近似的研究方法，实验中测量数据也可能存在误差、更严密精确的理论分析和实验研究会给出新的结果，所以，进一步的分析研究是有益的。
对于不同的弹簧振子模型，C 的取值会有不同，但多数弹簧的有效质量介于031
m ~
02
1
m 之间。
具体模型需要根据实际的情况进行分析。
弹簧对振子周期的影响，即反映到振子周期公式中为弹簧有效质量0C m 的大小，有效质量越大，弹簧对振子周期的影响越大；有效质量越小，弹簧对振子周期的影响越小。
进一步查阅资料可知，C 的取值不仅和振子振动模型有关，还可能与振动质点质量与弹簧质量比有关：弹簧的有效质量0Cm 随0
m m
的增大而减小，即对于同一个砝码，弹簧有效质量随0m 的减小而减小。
可见弹簧质量对弹簧振子周期影响是复杂的，进一步的探究可能会发现更多有趣的结论。
参考文献
【1】 钱锋，潘人培. 大学物理实验（修订版）. 高等教育出版社
【2】徐月明 弹簧质量对振子振动周期影响的实验研究 物理通报 2010年第11期 【3】康文秀. 弹簧质量对振子运动的影响. 保定师范专科学校学报，2004年17期：25-2版 【4】程守洙. 普通物理学（第三册）. 第五版. 北京：高等教育出版社
晋然02A11634。