课程主题：圆的方程与位置【知识点】一、圆的方程形式（1）圆的标准方程：)0()()(222>=-+-r r b y a x ，其中（,a b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ），圆心坐标为(,)22D E--，半径为2242D E Fr +-=．注:①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件，通常也用待定系数法；②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义，使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识；③圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，其中1122(,),(,)A x y B x y 是圆的一条直径的两端点．二、点、线、圆与圆的位置关系 （一）点与圆：点00(,)P x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点在圆内⇔222()()x a y b r -+-< (2)点在圆上⇔222()()x a y b r -+-= (3)点在圆外⇔222()()x a y b r -+-= （二）直线与圆:1．直线l ：0(,Ax By C A B ++=不全为0），圆C ：222()()x a y b r -+-=， 圆心到直线的距离为d ，直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：d r >⇔直线与圆相离；d r =⇔直线与圆相切；d r <⇔直线与圆相交．（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，组成方程组，消元后得到关于x （或关于y ）的一元二次方程，设其判别式为∆，则0∆<⇔直线与圆相离；0∆=⇔直线与圆相切；0∆>⇔直线与圆相交． 2．若点00(,)P x y 为圆上一点，则过点P 的切线方程为.0220000=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++F y y E x x D y y x x 或200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程3．直线被圆截得弦长的求法：（1）几何法：运用弦心距d 、半径r 及弦的一半构成直角三角形，计算弦长AB =222r d - （2）代数法：用一般的弦长公式AB 212(1)k x +-． （三）圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下：①|O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离； ②|O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切； ③| r 1-r 2|<|O 1O 2|< r 1+r 2⇔两圆相交； ④| O 1O 2 |=| r 1-r 2|⇔两圆内切； ⑤0<| O 1O 2|<| r 1-r 2|⇔两圆内含．【课堂演练】题型一 圆的方程例1 圆222460x y x y ++--=的圆心和半径分别是（ ） A ．(1,2)-11 B ．(1,2)11C ．(1,2)--11 D ．(1,2)-11练1 圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,2的圆的方程是（ ） A ．()2221x y +-=B ．()2221x y ++=C ．()2231x y +-=D ．()2231x y ++=练2 下列方程中圆心在点(2,3)P -，并且与y 轴相切的圆是（ ） A ．22(2)(3)4x y -++= B ．22(2)(3)4x y ++-= C ．22(2)(3)9x y -++= D ．22(2)(3)9x y ++-=练3 已知一个圆的圆心坐标标为)3,2(-，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则该圆的标准方程是（ ） A ．13)3()2(22=-++y x B ．52)3()2(22=-++y xC ．52)3()2(22=++-y x D ．13)3()2(22=++-y x例2 圆心在y x =-上且过两点(2,0)，(0,4)-的圆的一般方程为 ．练4 已知圆经过点()2,3A -和()2,5--两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆的方程．练5 已知圆经过点()1,1A 和()2,2B -两点，若圆心在直线10x y -+=上，求圆的方程．例3 求经过直线0=+y x 与圆084222=--++y x y x 的交点，且经过点)2,1(--P 的圆的方程．练6 求过点()()()1,03,00,1A B C -、、的圆的方程．练7 求过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程． （1）过原点；（2）有最小的面积．题型二 点与圆的位置关系例4 点(1,2-a a )在圆22240x y y +--=的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -<<B ．01a <<C ．115a -<<D ．115a -<< 练8 点P 2(,5)m 与圆2224x y +=的位置关系是（ ）A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不确定练9 已知圆22222(1)0x y ax y a +--+-=(01a <<)，则原点O 与圆的位置关系为 ．例5 圆O 的方程为22(3)(4)25x y -+-=，点(2,3)到圆上的最大距离为 ．练10 已知某个点与圆的最近距离与最远距离分别为2，8，则此圆的半径为 ．练11 实数x ，y 满足()()14322=-+-y x ，则22y x +的最小值是 ．题型三 直线与圆的位置关系 ➢ 相离例6 直线3480x y +-=与圆()22(2)31x y -+-=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断练12 直线4y x =+与圆()22(5)38x y -+-=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．无法判断例7 圆2244100x y x y +---=上的点到直线80x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．18 B ．62C ．52D ．42练13 圆222210x y x y +--+=上的点到直线40x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ） A 2 B 21C ．2D 21➢ 相切例8 设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ） A ．4±B ．22±C ．2±D ．2±练14 以点()1,1-为圆心且与直线0x y -=相切的圆的方程为（ ） A ．()()22112x y -++= B ．()()22114x y ++-=C ．()()22111x y -++= D ．()()22114x y -++=练15 以点（2，1-）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为（ ） A ．()()22213x y -++= B ．()()22213x y ++-= C ．()()22219x y -++= D ．()()22219x y ++-=例9 从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点(2,3)P 向这个圆引切线，则切线长为 ．练16 连过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为 ． ➢ 相交例10 已知集合A ＝{(,)x y |,x y 为实数，且221x y +=}，B ＝{(,)x y |,x y 为实数，且1x y +=}，则A ∩B 的元素的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1练17 已知直线k x y +=2和圆422=+y x 有两个交点，则k 的取值范围是（ ） A ．55k -<< B ．0k = C ．25k > D ．2525k -<<例11 已知圆C ：22230x y x ay +++-= (a 为实数)上任意一点关于直线l ：20x y -+=的对称点都在圆C 上，则a = ．练18 圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=（a 、b R ∈）对称，则a b 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例12 圆224460x y x y +-++=截直线05=--y x 所得弦长为（ ）A 6B ．225 C ．1 D ．5练19 圆()()221+14x y --=截直线2y x =-所得弦长为 ．例13 过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为 ．练20 过点()2,1-P 的直线l 将圆036422=-+-+y x y x 截成两段弧，若其中劣弧的长度最短，那么直线l 的方程为 ．题型四 圆与圆的位置关系例14 圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．相离 D ．内切练21 圆221x y +=和圆()()221416x y +++=的位置关系是（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离练22 若224a b +=，则两圆22()1x a y -+=和22()1x y b +-=的位置关系是 ．练23 若圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）A ．0x y +=B ．20x y +-=C ．20x y --=D ．20x y -+=．【课后巩固1】1．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（ ） A ．()2,3 B ．()2,3- C ．()2,3-- D ．()2,3-2．已知圆C 的圆心坐标为()2,1-，半径长是方程()()140x x --=的解，则圆C 的标准方程为（ ） A ．()()22124x y ++-= B ．()()22214x y -+-= C ．()()222116x y -++= D ．()()222116x y ++-=3．过三点()()()1,3,4,2,1,7A B C -的圆交y 轴于,M N 两点，则MN =（ ） A ．62 B ．8C ．64D ．104．点()1,1--在圆()()224x a y a ++-=的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -<< B ．01a << C ．11a a <->或 D ．1a =±5．直线420ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．无法判断6．已知圆221:4C x y +=，圆222:68160C x y x y ++-+=，则圆1C 和圆2C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切7．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ） A ．2 B ．24C ．6D ．1028．已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．－2B ．－4C ．－6D ．－89．过圆222440x y x y +-+-=内一点()3,0M 作圆的交线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是（ ） A ．30x y +-= B ．30x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-=10．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 ．11．圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程 ．12．求经过点()6,4P -，且被圆2220x y +=x 2+y 2=20截得的弦长为26的直线方程．【课后巩固2】1．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） A ．1)1()1(22=-+-y x B ．1)1()1(22=+++y x C ．2)1()1(22=+++y x D ．2)1()1(22=-+-y x2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1,2的圆的方程是（ ） A ．()2221x y +-=B ．()2221x y ++=C ．()2231x y +-=D ．()2231x y ++=3．若()2,1P -为圆()22:125C x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是(A )A ．30x y --=B ．230x y +-=C ．10x y +-=D ．250x y --=4．若圆1:221=+y x C 与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则=m （ ）A ．21B ．19C ．9D ．﹣115．直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是（ ） A ．)12,0(- B ．)12,12(+- C ．)12,12(+-- D ．)12,0(+6．直线230x y --=与圆C ：()222(3)9x y -++=交于E F 、两点，则ECF ∆的面积为（ ）A ．32B ．34C ．355D ．57．已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=，当直线l 被圆C 截得的弦长为23a 是（ ） A 2B ．22-C 21D 218．设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点)1,3(P ，则直线AB 的方程为 ．9．A B 、为直线y x =与圆221x y +=的两个交点，则AB 等于 ．10．圆()()22415x y -+-=内一点()30P ，，则过P 点的最短弦的弦长为 ；最短弦所在直线方程为 ．11．圆8)1(22=++y x 内有一点()2,1-P ,AB 过点P ，若弦长72=AB ，求直线AB 的倾斜角α；【课后巩固3】1．已知圆C 的方程为2224200x y x y +-+-=，则其圆C 和半径r 分别为（ ） A ．()1,2,5C r -= B ．()1,2,5C r --= C ．()1,2,25C r = D ．()1,2,25C r -=2．已知圆M 与直线340x y -=及34100x y -+=都相切，圆心在直线4y x =--上，则圆M 的方程为（ ） A ．()()22311x y ++-=B ．()()22311x y -++= C ．()()22311x y +++= D ．()()22311x y -+-=3．已知圆22:240C x y x y +--=，则下列点在圆C 内的是（ ） A ．()4,1 B ．()5,0 C ．()3,4 D ．()2,34．直线4y x =+与圆()()2238x a y -+-=相切，则a 的值为（ ） A ．3B ．22C ．35或-D ．35-或5．“直线y x b =+与圆221x y +=相交”是“01b <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知圆的方程为2260x y x +-=，过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．47．如果圆()()228x a y a -+-=上存在一点P 到直线y x =-2，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．3C ．32D ．33-或8．若直线2x y -=被圆()224x a y -+=所截得的弦长为22a 的值为（ ） A ．－13B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或49．圆221x y +=与圆()()221416x y +++=的位置关系是（ ） A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离10．过点()1,1-的圆2224200x y x y +---=的最大弦长与最小弦长的和为（ ） A ．17B ．18C ．19D ．2011．如果把直线20x y λ-+=向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值等于 ．12．一直线过点33,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且被圆2225x y +=所截得的弦长为8，则此直线方程为 ．13．已知直线L ：0382=---m y mx 和圆C ：02012622=++-+y x y x ，m 取何值时，L 被C 截得弦长最短，求此弦长．。