M (F ) 0 F 0 平 ②二矩式： F 0 M (F ) 0 M (F ) 0 衡 ③三矩式： M (F ) 0 M (F ) 0 M (F ) 0
y o x A B A B C
①一矩式： Fx 0
M x F 0, M y F 0, M z F 0
力对点之矩矢在通过该 点的任意轴上的投影等 于力对于该轴之矩。
|MO(F)| cosγ = Mz(F)= [MO(F) ]z
C LY
系 列 一
理论力学 2、力对坐标轴之矩的解析表达式 由于 F=Fxi+Fyj+Fzk ， r=xi+yj+zk
i j y Fy k z Fz
z MO(F)
B F
k O i x j
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fy F Fx , cos , cos z F F F
3、空间力沿坐标轴的分解表达式 F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk
C LY
系 列 一
理论力学
例6-1 长方体上作用有三个力,F1 =500N, F2=1000N, F3=1500N, 方向及尺寸 如图所示，求各力在坐标轴上的投影。
系 列 一
FRz FR
理论力学 四、空间汇交力系平衡的充要条件
平衡充要条件是：力系的合力为零，
FR=∑F =0
几何法平衡的充要条件是力系的力多边形自行封闭。 解析形式表示的平衡充要条件为：
∑Fx =0, ∑Fy =0, ∑Fz =0
即力系中所有各力在三个坐标轴的每个坐标轴上的投影的代数和均为零。
C LY
FRy F FRx , cos , cos Rz FR FR FR
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
MO =MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)
M z ( F ) xFy yFx
C LY
系 列 一
内 容 回 顾
（2） 当B处不受张力，基底作用力为三角形载荷 时，大小为 Q W 1bh. ，作用点距A点b/3
理论力学
M
A
0
b b 1 1 M Q M w M q 1bh. . 1bh. . . gh.1h. h 0 3 2 2 3
E
C

D


A
B
W
Fx 0, FC sin FD sin 0
Fy 0, FC cos FD cos FB sin 0
FD FC x FB
z
A y
Fz 0 : FB cos W 0
由几何关系，
cos 24 12 2 24 2 2 5
系 列 一
理论力学 说明:
(1量。
(2) 解题步骤：首先弄清力系中各力的空间位置关系，适当选取投影轴 (坐标系)，以简化计算过程。理论上来讲，除要求三个投影轴不共面， 且两两之间不相互平行外，投影轴可以任意选取。
(3) 当空间汇交力系平衡时，它在任何平面上的投影力系也必然平衡，
(4) 通常用符号M表示 说明： (1) 空间力偶矩矢为一个自由矢量 (2) 凡矩矢相等的力偶均为等效力偶，此即 空间力偶的等效定理。
C LY
力偶矩矢
系 列 一
理论力学
三、空间力偶系的合成与平衡
1、合成
空间各力偶是自由矢量，只要不改变各力偶矩矢方向，将它们 都滑移至某汇交点，按矢量合成法则进行合成。 即，合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。
2 2 2 FR FRx FRy FRz
合 成
FR
FR 2 FR 2 ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 x y
FR y FR x arctan Fy Fx
Fx Fy Fz
2 2
2
arctan
cos
W
解得，FB 1414 N
FC FD 559 N
C LY
系 列 一
理论力学
§6-3 空间力偶
一、空间力偶的等效定理· 力偶矩矢的概念
I
F′ B A F O FR ′ F2′ F1 ′ B1 II
作用在同一刚体的两平
行平面的两个力偶，若它们 的转向相同，力偶矩的大小
相等，则二者等效。
A1 FR F1
C LY
d
系 列 一
理论力学 (2) 力矩矢的方位：
与该力和矩心组成的平面的法线方位相同。
注意：当矩心位置改 变时，力矩矢的大小 和方向也随之改变， 因此，力矩矢为定位 矢量
(3) 力矩矢的指向：与转向的关系服从右手法则。
2、力矩矢的矢积表达式
如果r 表示A点的矢径，则
MO(F) A
B F
MO(F)=r×F 证明： ∵ |r ×F|=r · · F sin(r ,F )=Fd r
内 容 回 顾
1、 平面任意力系的合成结果
① 合力（合力=主矢）
理论力学
FR’ ≠0， MO ＝0，或 FR’ ≠0， MO ≠0
② 合力偶（合力偶矩=主矩） FR’ =0， MO ≠0
③ 平衡 FR’ =0， MO =0
2、平面任意力系的平衡方程
①一矩式： ②二矩式： ③三矩式：
F 0 F 0 M F 0 M (F ) 0 M M (F ) 0 M (F ) 0 M
解得：b=1.32
C LY
系 列 一
内 容 回 顾
平面任意力系
FRx =F1x+ F2x+ ·· Fnx= ΣFx ·+
FRy =F1y+ F2y+ ·· Fny= ΣFy ·+
理论力学 空间任意力系
FRx =F1x+ F2x+ ·· Fnx= ΣFx ·+ FRy =F1y+ F2y+ ·· Fny= ΣFy ·+ FRz =F1z+ F2z+ ·· Fnz= ΣFz ·+
x y x A A B
o B C
(F ) 0 (F ) 0 (F ) 0
3、解题步骤
(1) 选取研究对象； (3) 选坐标、取矩心 (2) 受力分析（画受力图） (4) 列平衡方程求解未知量。
C LY
系 列 一
内 容 回 顾
一、 4.4 c 固定端约束是3个力； 二、 缺受力图 三、 4-11 解：稳定力矩Mw 倾覆力矩Mq 倾覆系数Kq
F2
力偶三要素：力偶矩的大 小、力偶的转向、力偶作 用面的方位
C LY
系 列 一
理论力学 二、力偶矩矢 1、定义
空间力偶三要素可用一矢量表示，该矢量称为力偶矩矢。
2、表示方法
(1) 大小：矢量的长度表示力偶矩的大小；
(2) 矢量的方位：与力偶作用面的法线方向相同；
(3) 矢量的指向：与转向的关系服从右手法则。
M=M1+M2+…+Mn=∑M 2、平衡
空间力偶系的平衡条件是： ∑M = 0 投影形式为： ∑Mx = 0, ∑My = 0, ∑Mz = 0 即：各力偶矩矢在三个坐标轴上的投影的代数和等于零。
C LY
系 列 一
理论力学
§6-4 力对点之矩与力对轴之矩
一、空间力对点之矩的矢量表示
力对点的矩,除了力矩的大小、转向外,还应考虑力与矩心所组成
。。 。 β α O 。 。
y Fn
FRx=∑Fx , FRy=∑Fy , FRz=∑Fz
(2) 合力的解析求法
FR F
2 Rx
x
2 2
F
2 Ry
F
2 Rz

Fx
FRy FR ,
C LY
2
Fy Fz
cos
FRx , FR
cos
cos
且构成一平面汇交力系，故可以把空间问题转化成平面问题来处理。
C LY
系 列 一
理论力学 例6-2 重物W用杆AB和同一水平面的绳索AC与 AD支承。已知W＝1000N，CE＝ED＝12cm， EA＝24cm，β＝45°，不计杆重；求绳索的拉 力和杆的内力。
解：取A点为研究对象，受力分析。 取坐标系Axyz，列平衡方程，有
z
60o
4m
D
F1
O C x 解：具体过程见教材。
系 列 一
F3


2.5m
A
F2
B
y
C LY
理论力学
§6-2 空间汇交力系的合成与平衡
(1) 合力投影定理
将各力用分解表达式表示为：
z F1 γ FR F3
F2
Fi=Fxii+Fyij+Fzik , (i=1,2,…，n)
有： FR=∑F =∑Fxi+∑Fyj+∑Fzk
FN2
空间汇交力系
C LY
系 列 一
理论力学
§6-1 空间力沿坐标轴的分解与投影
一、力在空间的表示
大小：
z
F=|F |
E Fz

方向： 由、、 三个方向角确定, 或由方位角与仰角 来确定。 作用点： 力矢的起点或终点。
B A FFy D Fx ′ C B1 y
F
二、力在坐标轴上的投影计算
∴
MO(F)=r×F
O
d
系 列 一
即力对于任一点之矩等于矩心至力的作用线的矢径与该力的矢积。