当无裂纹时,D1D2的相对位移为零
lim
F →0
v0 =0 F
K 2 F 与F正比 lim K 2 F = 0
F →0
2 K IF δ = ' lim ∫ K IP da E F →0 0 F
ζ
—Paris位移公式 Paris位移公式
11
δ 的计算
K IP = K Iσ + K Iσ s 其中K Iσ = σ πc , K Iσ s = 2σ s
a # = α 2a
18
3.材料加工硬化的修正 考虑材料加工硬化，当 σ s = 200 ~ 400MPa 时，低 1 碳钢取 σ f = (σ s + σ b ) 代替 σ s 。其中 σ f 为流变应力。 2 σ b 为材料的抗拉强度。 综合考虑上述3部分内容
D－B模型的计算公式
δσ + a # π ( Mσ ) ln sec[ ] Eπ 2σ f
3
小范围屈服条件下的COD §4.1小范围屈服条件下的COD准则 4.1 小范围屈服条件下的COD准则 一.COD
COD(Crack Opening Displacement) 裂纹张开位移。 裂纹体受载后，裂纹尖端附近的塑性区导致裂纹尖端表面 张开——裂纹张开位移：表达材料抵抗延性断裂能力
δ = δc
sec
πσ 1 πσ 2 5 πσ 4 = 1+ ( ) + ( ) + ...... 2σ s 2 2σ s 24 2σ s
σ 当 σ 较小时 s
sec
πσ 1 πσ 2 = 1+ ( ) 2σ s 2 2σ s
7
a πσ 2 近似表达式：Ｒ＝ ( ) 2 2σ s
又无限大板的穿透裂纹问题： σ πa = K I
s
经验设计曲线
15
well标准 e e 当 ≤１时 φ = ( ) 2 es es e e 当 >１时 φ = es es
Burdekin标准 e e 当 ≤ 0.5时 φ = ( ) 2 es es 当 e e > 0.5时 φ = 0.25 es es
JWES 2805标准 e φ = 0.5( ) es
—COD准则
裂纹失稳扩展的临界值
COD准则需解决的3个问题：
δ 的计算公式; δ c 的测定; COD准则的工程应用
4
二.小范围屈服条件下的COD准则 小范围屈服条件下的COD准则 COD
平面应力下
k r θ 3θ v= 2 [(2k + 1) sin sin ] 4G 2π 2 2
k=
3 1+
—无限大板的COD利用D－B模型计算结果
12
D－B模型不适用于全面屈服（ σ =σ s ）。有限无计算表 明：对小范围屈服或大范围屈服。当 σ σ ≤ 0.6 时，上式的 s 预测是令人满意的. D－B模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面应力 问题。它消除了裂纹尖端的奇异性，实质上是一个线弹性 化的模型.当塑性区较小时，COD参量与线弹性参量Ｋ之间 有着一致性.
σ 11 σ 21 + =0 x1 x2 σ 12 σ 22 + = 0 σ 12 = σ 21 x1 x2
ui 2u1 2u1 2u 2 2u 2 ∫C Ti x1 dS = ∫∫A [(σ 11 x12 + σ 12 x12 + σ 21 x1x2 + σ 22 x1x2 )]dx1dx2
π
πc arccos( )
a c
又由
2 δ = ' E
K IF =
2 Fc
πc (c 2 a 2 )
∫
c
0
[σ πζ
2σ s
π
a 2 Fζ πζ cos 1 ] [ ] 2 2 ζ F πζ (ζ a )
8σ s a πσ ln sec( ) 当 ζ < a 时， K IF = 0 δ = ' πE 2σ s
虚力Ｆ在裂纹尖端产生的应力强度因子
外力Ｐ在裂纹尖端产生的应力强度因子
10
v v δ = = lim [ 0 + P F →0 F F
ζ
ζ
1 ( K IP + K IF ) 2 ]da ∫ E' 0
v 2 K lim ( 0 ) + lim ∫ ( K IP + K IF ) IF da = F F F →0 F → 0 0 E'
πσ 将 ln sec( 2σ ) 按级数展开 s 8σ s a 1 πσ 2 1 πσ 4 δ= ( ( ) + ( ) + ......) ' πE 2 2σ s 12 2σ s
13
σ << σ s
8σ s a 1 πσ 2 σ 2πa δ= ( ) = ' πE 2 2σ s Eσ s
K I2 K I = σ πa , GI = ' E
σ 1I = (
v )P A
当取板厚Ｂ＝１时
v(a, P, F ) = v0 ( P, F ) + ∫ GI da
0
σ 1I = (
ζ
v v )P = ( )P A a
2ζ 表示裂纹扩展过程时的长度
无裂纹体（a=0）的应变能
又
K I2 1 GI = ' = ' ( K IP + K IF ) 2 E E
第四章 弹塑性断裂力学
1
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服，端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸， 如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的 接管部位.
2
弹塑性断裂力学的任务 任务：在大范围屈服下，确定能定 任务 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以 便利用理论建立起这些参量与裂纹几何特性、外加载荷之 间的关系，通过试验来测定它们，并最后建立便于工程应 用的断裂准则。 主要包括COD COD理论和J积分理论 COD J
= ∫ [(σ 11
C
u1 u u u + σ 12 2 ) dx2 (σ 21 1 + σ 22 2 ) dx1 ] = 1,2) (i x1 x1 x1 x1
根据格林公式
ui dS = ∫∫ A x1
Q P ∫C ( Pdx1 + Qdx2 ) = A ( x1 x2 )dx1dx2 ∫∫
19
§4.5 J积分的定义和特性
COD准则的优点： 测定方法简单 经验公式能有效地解决中、低强度强度钢焊接结构及压力 容器断裂分析问题 缺点： 不是一个直接而严密的裂纹尖端弹、塑性应变场的表征 参量. Rice于1968年提出J积分概念，J积分主要应用于发电 工业，特别是核动力装置中材料的断裂准则。
与积分路径无关的常数。即具有守恒性。 守恒性。 守恒性
22
闭合回路：ABDEC 在裂纹面上BD、AC上：Ti = 0 dx2 = 0
n 设 n1 ， 2 为弧元dS的外法线元的方向余弦
dx n1 = cos α = 2 dS
dx1 n2 = sin α = dS
微元dS上三角形体元的力的平衡条件
K =K
c I (1) I
+K
( 2) I
= σ πc
2σ s
π
a πcσ c
1 s
6
又因Ｃ点为塑性区端点，应力无奇异性
πσ 2σ s πσ R = c a = a(sec 1) 2σ s
cos K Ic = 0 c = a = a sec
πσ 2σ s
将
sec
πσ 2σ s
按级数展开，有
远场均匀拉应力产生
塑性区分界上的拉应力 σ s 产生
卡氏定理：物体受一对力作用方向的相对位移等于应变能对 卡氏定理 外力Ｐ的偏导数。
δ=
v P
引入应力Ｆ，物体的应变能 v = v(a, P, F )
D1 D2两点沿Ｆ 方向的相对位移为 １
δ = lห้องสมุดไป่ตู้m
F →0
v F
9
又有，恒定载荷下的能量释放率为
σ 2πa K I2 GI δ = Eσ = Eσ = σ s s s
欧文小范围屈服时的结果 D－B模型的适用条件
4 K I2 4 GI = δ= π Eσ s π σ s
平面应力情况下的无限大平板含中心穿透裂纹. 引入弹性化假设后，分析比较简单，适用于 σ σ ≤ 0.6
s
塑性区内假定材料为理想塑性（没有考虑材料强化）
20
J积分的两种定义： 回路积分：即围绕裂纹尖端周围区域的应力应变和位移所 回路积分 组成的围线积分。 J积分具有场强度的性质。不仅适用于线弹 性，而且适用于弹塑性。但J积分为一平面积分，只能解决工 程问题。 形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对试样所做的 形变功率定义 形变功率给出。 根据塑性力学的全量理论，这两种定义是等效的。
当θ＝π r = ry 处时 ry 2π 1 k2 2 ry = ( ) 2π σ s 2 4 k2 4σ 12 δ = 2v = = —小范围屈服时的COD计算公式 π Eσ s πσ s
5
4k 2 v = E
§4.2
D－ 带状塑性区模型的COD D－B带状塑性区模型的COD
D－B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延 模型假设 伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹 和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区 交界面上作用有均匀分布的屈服应力 σ s . 假想：挖去塑性区 → 在弹性区与塑性区的界面上加上均 假想 匀拉应力σ s 线弹性问题 裂纹尖端的应力强度因子