关于分组（堆）问题的六个模型及求法
引例 将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？
⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；
⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；
⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；
⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；
⑸分成3堆，每堆2 本；
⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；
⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本.
分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的. ②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题.
解：⑴是指定人应得数量的非均匀问题：①学生甲从6本中取3 本有36C 种取法，②学生乙从余下的3本中取2本有23C 种取法，③学生丙从余下的1本中取1本有1
1C 种取法. 所以方法数为321631C C C ＝60；
⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：①从6本中取3 本作为一堆有36C 种取法，②从余下的3本中取2本作为一堆有23C 种取法，③从余下的1本中取1本作为一堆有11C 种取法，④
将三堆依次分给甲乙丙三人有33P 种分法. 所以方法数为33112336P C C C ＝360； ⑶是指定人应得数量的均匀问题：①学生甲从6本中取2本有2
6C 种取法，②学生乙从余下的4本中取2本有24C 种取法，③学生丙从余下的2本中取2本有22C 种取法. 所以方法数为222642C C C ＝90； ⑷是分堆的非均匀问题：①从6本中取3 本作为一堆有36C 种取法，②从余下的3本中取2本作为一堆有23C 种取法，③从余下的1本中取1本作为一堆有1
1C 种取法. 所以方法数为321631C C C ＝60； ⑸是分堆的均匀问题：相当于①学生甲从6本中取2本有2
6C 种取法，②学生乙从余下的4本中取2本有24C 种取法，③学生丙从余下的2本中取2本有22C 种取法.方法数为222642C C C ＝90.
然后再取消甲乙丙的分配顺序，故方法数为22236423C C C A ÷＝15； ⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为4113621322
C C C P A ⨯＝90； ⑺是部分均匀地分堆的问题：方法数为41162122
C C C A ＝15. 以上问题归纳为：
分组（堆）问题有六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分.是排列、组合及其应用基本问题.在历年的各地高考试题中都有体现.
例1 ( 2006年重庆卷理（8）) 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）
（A ）30种 （B ）90种 （C ）180种 （D ）270种
分析：这是一个有序局部等分问题. 根据题意应先将5名实习教师按（2～2～1）分为三组，然后再将这三组依次安排到高一年级的3个班实习.
解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5
名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有12254222
15C C C A ⋅⋅=种方法，再将3组依次分到3个班有336A =种分法. 根据分步计数原理，共有15690⨯=种不同的分配方案，故选
B.
点评：没有明确安排各学校的教师分配数量时，要先将教师分成堆（组）再将各堆依次分配到学校，简称为“先分组，后到位”；对于局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列.
例2（2007陕西理科第16题）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 210 种.（用数字作答）
分析：根据题意应先将3名支教老师按（1～1～1）分为三组或按（2～1）分为两组，然后再将这组依次安排到学校.
解：①将3名支教老师按（1～1～1）分为三组有11132133
1C C C A =种分法，再将三组依次分
到学校有3
6120
A=中分法，根据分步计数原理，共有1×120＝120种不同的分配方案；
②将3名支教老师按（2～1）分为两组有21
313
C C=种分法，再将两组依次分到学校有
2 630
A=中分法，根据分步计数原理，共有3×30＝90种不同的分配方案.
再由分步计数原理，共有120+90＝210种不同的分配方案. 故填210.
点评：分类讨论问题是今年考试的热点. 本题是将分类与分组问题巧妙的融合在了一起，同时达到考察分类计数原理和分步计数原理的目的.
例3（2007宁夏理科第16题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）分析：5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，说明必有某一个工厂安排了两个班，其余的3个工厂各有一个班，由于到一个工厂的两个班的“地位”是等同的（无序），不能出现谁先进入谁后进入的局面，也就是说这两个班要同时进入（无序）到这个工厂才可以. 因此应该先分组后到班.
解：由题意，先将5个班分为四组（2～1～1～1）有
2111
5321
3
3
10
C C C C
A
=种分法；再将这
四组依次分配到4个工厂有4
424
A=种分配方法. 根据分步计数原理，共有10×24＝240种不同的进行社会实践分配方案. 故填240.
点评：本题极易出错的解法是：先给4个工厂各分1个班有4
5120
A=种分法，再将余
下的一个班分配到4个工厂之一有1
44
A=种方法. 最后根据分步计数原理，共有120×4＝
480种不同的进行社会实践分配方案. 恰是正确答案240的2倍. 请读者说明出现这种情况的原因.
一般地，对于分组（堆）的问题模型，其解题思路及步骤为：①明确每个人的分配数量时，依次选取即可；没有明确安排位置的分配数量时，要先分堆（组）再将各堆依次安排到对应位置，简称为“先分组，后到位”；②非均匀的分堆（组），依次选取出来即可；③均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉选出的顺序，即除以堆（组）数的全排列；④局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列.。