2、求幂级数
1 2 x 2 3x2 3 4 x3 n (n 1) xn
的收敛域以及和函数。
3、证明含参变量反常积分 exydy 在[a, b](a 0) 上一致收敛。 0
八、（6分）证明函数项级数
n 1
1 nx
在 (1, ) 上有连续的各阶导函数。
在，但在 0, 0 点处不可微。
2、设函数 u f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数，又函数 y y(x) 和 z z(x) 分
别由 exy y 2, ex zx sin t dt 确定，求 du .
0t
dx
3、在曲线 x2 y2 1上找一个位于第一象限的点，使得该曲线在该点处的 4

1、计算定积分 2 sin5x cos x dx . 0
2、计算不定积分
1 4 sin2 x cos2 x dx
.
3、设函数 f (x) 在区间[0,1] 上可积,且满足 arctan x f ( x) 1 f ( x)dx, 求 0 1 f (x)dx 的值。 0
4、函数 f (x) 在区间[a, a] (a 0) 上连续，证明
a f (x)dx 1 a f (x) f (x)dx ，
a
2 a
并求定积分 1 x4 dx 的值。 11 ex
四、一元微分学 （每题8分，共16分）
1、函数 f (x) 在[a, b] 上连续，在 (a,b) 上可微，证明：存在 （a,b），使下 式成立
2 f (b) f (a) b2 a2 f '( ).
山东科技大学2016年招生硕士学位研究生入学考试试卷
一、极限及其应用（每题6分，共18分）
1、 计算
lim
n
1

2
n

2

n
.
2、 计算
lim

1

1

1

.
n n2 1 n2 2
n2 n
3、计算 lim tan x sin x . x0 ln(1 x3 )
切线与该曲线以及 x 轴、 y 轴所围成的图形面积最小，并求最小面积。
六、多元函数积分学（每题8分，共16分）
1 、 计 算 三 重 积 分 (x z)dxdydz ， 其 中 V 是 由 z x2 y2 与 V z 1 x2 y2 所围成的区域。
2、计算 2x3dydz 2 y3dzdx 3(z2 1)dxdy ，其中 S 是曲面 z 1 x2 y2 S 在 z 0 部分并取上侧。
七、级数和含参量积分（第1,2小题各9分，第3小题7分，共25 分）

1、已知正项级数 un ， n 1


（1）证明：当 un 收敛时，级数 unun1 也收敛。
n 1
n 1


（2）若级数 unun1 收敛，判断级数 un 是否收敛？若收敛，请
n 1
n 1
Hale Waihona Puke 给与证明；若发散，请举例说明。二、 导数与微分（每题6分，共18分）
1、求由参数方程

x y

a(t a(1
sin t) cos t)
所确定的函数的导数
dy dx
与
d2y dx2
.
2、已知函数 y xsin x ，求 dy . dx
3、求函数 y 1 的 n 阶导数。 x(1 x)
三、积分及其应用（每题6分，共24分）
2、设函数 f (x) 在[a, ) 上连续，且 lim f (x) 存在，证明 f (x) 在[a, ) 上 x 一致连续。
五、多元微分学（每题9分，共27分）
1、证明函数
f
(x,
y)

x2 y

x2

y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在点 0, 0 处连续且偏导数存