第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

解 1）由综合除法，可得2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+-； 2）由综合除法，可得42234231124(2)22(2)8(2)(2)x x x x x x -+=-+++-+++； 3） 由综合除法，可得4322(1)3(7)x ix i x x i +-+-++234(75)5()(1)()2()()i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++。

5．求()f x 与()g x 的最大公因式：1）43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--； 2）4332()41,()31f x x x g x x x =-+=-+；3）42432()101,()61f x x x g x x x =-+=-+++。

解 1）((),())1f x g x x =+； 2）((),())1f x g x =；3）2((),())1f x g x x =--。

6．求(),()u x v x 使()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=。

1）432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---； 2）43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+； 3）4322()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--。

解 1）因为22((),())2()f x g x x r x =-=再由11212()()()()()()()()f x q xg x r x g x q x r x r x =+⎧⎨=+⎩，解得22121212()()()()()()[()()()][()]()[1()()]()r x g x q x r x g x q x f x q x g x q x f x q x q x g x =-=--=-++，于是212()()1()1()()11(1)2u x q x x v x q x q x x x =-=--=+=++=+。

2）仿上面方法，可得((),())1f x g x x =-，且21122(),()13333u x x v x x x =-+=--。

3）由((),())1f x g x =可得32()1,()32u x x v x x x x =--=+--。

７．设32()(1)22f x x t x x u =++++与32()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的值。

解 因为32211212()()()()()(2)()()()()f x q xg x r x x tx u x x u g x q x r x r x =+=+++++=+，2((2))(2)(24)(3)x t x x u u t x u t =+-++-+-+-，且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式2()r x 为0，即(24)0(3)0u t u t -+-=⎧⎨-=⎩， 从而可解得1102u t =⎧⎨=⎩ 或 2223u t =-⎧⎨=⎩。

８．证明：如果()|(),()|()d x f x d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式。

证 易见()d x 是()f x 与()g x 的公因式。

另设()x ϕ是()f x 与()g x 的任一公因式，下证()|()x d x ϕ。

由于()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，这就是说存在多项式()s x 与()t x ，使()()()()()d x s x f x t x g x =+，从而由()|(),()|()x f x x g x ϕϕ可得()|()x d x ϕ，得证。

９．证明：(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =，(()h x 的首系数为１）。

证 因为存在多项式(),()u x v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+，所以((),())()()()()()()()f x g x h x u x f x h x v x g x h x =+， 上式说明((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个组合。

另一方面，由((),())|()f x g x f x 知((),())()|()()f x g x h x f x h x ， 同理可得((),())()|()()f x g x h x g x h x ，从而((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式，又因为((),())()f x g x h x 的首项系数为１，所以(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =。

１０．如果(),()f x g x 不全为零，证明：()(),1((),())((),())f x g x f x g x f x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

证 存在(),()u x v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+， 又因为(),()f x g x 不全为０，所以((),())0f x g x ≠，由消去律可得()()1()()((),())((),())f xg x u x v x f x g x f x g x =+，所以()(),1((),())((),())f x g x f x g x f x g x ⎛⎫=⎪⎝⎭。

11．证明：如果(),()f x g x 不全为零，且()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=，那么((),())1u x v x =。

证 由上题证明类似可得结论。

12．证明：如果((),())1,((),())1f x g x f x h x ==，那么((),()())1f x g x h x =。

证 由假设，存在11(),()u x v x 及22(),()u x v x 使11()()()()1u x f x v x g x += （1） 22()()()()1u x f x v x h x += （2）将（1）（2）两式相乘，得12121212[()()()()()()()()()]()[()()]()()1u x u x f x v x u x g x u x v x h x f x v x v x g x h x +++=，所以((),()())1f x g x h x =。

13．设11(),...,(),(),...,()m n f x f x g x g x 都是多项式，而且((),())1i j f x g x = (1,2,...,;1,2,...,)i m j n ==。

求证：1212(()()...(),()()...())1m n f x f x f x g x g x g x =。

证 由于11121((),())1((),())1..........................((),())1n f x g x f x g x f x g x ===，反复应用第12题结论，可得112((),()()...())1n f x g x g x g x =，同理可证21212((),()()...())1................................................((),()()...())1n m n f x g x g x g x f x g x g x g x ==， 从而可得1212(()()...(),()()...())1m n f x f x f x g x g x g x =。

14．证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x +=。

证 由题设知((),())1f x g x =，所以存在(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=， 从而()()()()()()()()1u x f x v x f x v x f x v x g x -++=， 即[()()]()()[()()]1u x v x f x v x f x g x -++=， 所以((),()())1f x f x g x +=。