第1章
（2） 令输入为
x(n－n0) 输出为
时域离散信号和时域离散系统
y′(n)=2x(n－n0)+3
yபைடு நூலகம்n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)
故该系统是非时变的。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是非线性系统。

x ( n ) e jn
j n x ( n ) e X ( e j ) n


X (e )
j
n


x(n)e jn
对该式两边ω求导， 得到
dX (e j ) j nx(n)e jn jFT[nx(n)] d n

x ( n n )e
j ( n n0 )
令n′=n－n0, 即n=n′+n0， 则
FT[ x(n n0 )]
n
x(n)e
e jn0 X (e j )
第２章
（2）
时域离散信号和系统的频域分析
FT[ x (n)]
（6） 因为
n

2π 14 因此是周期序 , 这是有理数，

2π

3
, 所以
1 8
=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。

第1章
时域离散信号和时域离散系统
5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输 出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （5）y(n)=x2(n) 解： （1） 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n －n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n －n0－2) =y′(n)
第1章
时域离散信号和时域离散系统
3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
(1)
3 x(n) A cos πn 8 7
x ( n)
1 j( n ) e 8
A是常数
(2)
解： （1） 因为ω= 列， 周期T=14 （2） 因为ω=
3 π, 所以 7
1 2 1 2
X 1 (e j )
n


δ(n 3) e jn e j3
第２章
(2)
时域离散信号和系统的频域分析
X 2 (e )
j
n
x (n)e
2
j n

jn
1 j 1 j e 1 e 2 2
(4) X 4
1 j 1 (e e j ) 1 cos 2 (e ) [u(n 3) u (n 4)]e e
j 3 j n n n 3


n 0
3
e
jn

n 1

3
e
j n


n 0
3
e
jn


n 1
3
e j n
1 e j 4 1 e j3 j 1 e j4 1 e j3 e j3 e j4 1 e j7 j3 e e j j 1 e 1 e 1 e j 1 e j 1 e j 1 e j
第1章
（5） y(n)=x2(n) 令输入为
时域离散信号和时域离散系统
x(n－n0)
输出为 y′(n)=x2(n－n0) y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n)
故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n) =ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。
第1章
时域离散信号和时域离散系统
6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明
理由。 （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n) 解：（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时 间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则 |y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, （4）假设n0>0， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和 n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M， 因此系统 （5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的 未来值。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM， 因此系统是 稳定的。
第1章
时域离散信号和时域离散系统
故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］
+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］
T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2) 所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
2.5 习题与上机题解答
1． 设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里 叶变换： (1) x(n－n0) (2) x*(n)
n
(6) nx(n)
0 jn
解：（1） FT[ x(n n )] 0

因此
d X ( e j ) FT[ nx( n)] j d
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
6． 试求如下序列的傅里叶变换： (1) x1(n)=δ(n－3) (2) x2 (n) δ(n 1) δ(n) δ(n 1) (4) x4(n)=u(n+3)－u(n－4) 解 (1)