隐函数的微分法习题
1. 书上习题8 33.
2. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由
0=+++xyz z y x 确定的隐函数，求)1,1,0(-'x
f 。

3. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =，分别由0=-y e xy 和0=-xz e z 所确定，求dx
du 。

4. 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定：
2=-xy e xy 和dt t t e z x x ⎰-=0sin ，求dx
du 。

5. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-所确定，求du 。

6. ),(y x z z =由隐函数0),,(=+++x z z y y x F 确定，求dz 。

1. 书上习题8 33.
证明由方程组所⎩⎨⎧'=+-=++)
(cos sin )(ln sin cos ααααααf y x f z y x ⑴确定的函数),(y x z z =满足方程式222)()(z y
z x z =∂∂+∂∂，其中),(y x αα=，)(αf 为任意可微分的函数。

在（1）两边同时对x 求偏导数：
x
f x z z x y x x ∂∂'=∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂⋅-ααααααα)(1cos sin cos 把)(αf '代入得到：
αcos 1-=∂∂⋅x
z z 即αc o s z x z -=∂∂ α222cos )(z x
z =∂∂， 同理 可得 α222s i n )(z y
z =∂∂， 故 222)()(z y
z x z =∂∂+∂∂。

2. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由
0=+++xyz z y x 确定的隐函数，求)1,1,0(-'x
f 。

x
z yz e yz e f x x x ∂∂⋅+='22， 方程两边同时对x 求偏导：
01=∂∂++∂∂+x
z xy yz x z ∴ xy
yz x z ++-=∂∂11， 当x=0, y=1, z= -1时
0|11|)1,1,0()1,1,0(=++-=∂∂--xy
yz x z 故 1|]2[)1,1,0()1,1,0(2=∂∂⋅+=-'-x
z yz e yz e f x
x x 。

3. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，)(x y y =和)(x z z =，分别由0=-y e xy （1）和0=-xz e z （2）所确定，求dx
du 。

dx
dz z f dx dy y f x f dx du ⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂= （*） 在（1）和（2）两边分别对x 求导得到
xy
y xe y e dx dy xy xy -=--=112 x
xz z x e z dx dz z -=---= 上两式代入（*）得：
x
xz z z f xy y y f x f dx du -⋅∂∂+-⋅∂∂+∂∂=12。

4. 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定：
2=-xy e xy （1）和dt t t e z x x ⎰-=0sin （2），求dx
du 。

dx
dz z f dx dy y f x f dx du ⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂= （*） 在（1）和（2）两边分别对x 求导得到
（1） 0)()(=+-+dx
dy x y dx dy x y e xy
∴ x
y dx dy -= （2） )1()s i n (dx dz z x z x e x ---= ∴ )
sin()(1z x z x e dx dz x ---= 上两式代入（*）得：
))s i n ()(1(z x z x e z f x y y f x f dx du x ---⋅∂∂+⋅∂∂-∂∂=。

5. 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-（1）所确定，求du 。

dz f dy f dx f du z y x
'+'+'= （*） （法1）
对（1）求微分：
dz e ze dy e ye dx e xe z z y y x x )()()(+=+-+， ∴ dy e z e y dx e z e x dz z y
z x
)1()1()1()1(+++++=
把上式代入（*）得到
dy f e z e y f dx f e z e x f du z z y y z z x x
))1()1(())1()1(('+++'+'+++'=。

（法2） 令z y x ze ye xe z y x F --=),,(，
x x e x F )1(+='， y y e y F )1(+-='，
z z e z F )1(+-='，
z x z x e
z e x F F x z )1()1(++=''-=∂∂， z y z y e
z e y F F y z )1()1(++=''-=∂∂， ∴ dy e z e y dx e z e x dz z y z x )1()1()1()1(+++++=
代入（*）即可。

6. ),(y x z z =由隐函数0),,(=+++x z z y y x F 确定，求dz 。

令 y x u +=，z y v +=， x z w += ∴ 0),,(=w v u F （*） 在（*）两边对x 求偏导，得
0)1(1=∂∂+'+∂∂⋅'+⋅'x
z F x z F F w v u 得到 w
v w u F F F F x z '+''+'-=∂∂ 在（*）两边对y 求偏导，得
0)1(1=∂∂'+∂∂+⋅'+⋅'y
z F y z F F w v u 得到 w
v v u F F F F y z '+''+'-=∂∂ ∴ dy y
z dx x z dz ∂∂+∂∂= dy F F F F dx F F F F w v v u w v w u '+''+'-'+''+'-=。