2.
定理5.4（隐函数存在定理4）设 、 在点 的某一邻域内满足：
①具有对各个变量的一阶连续偏导数，
② ，
③ ，
则方程组 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它们满足条件 , ，并有
，
定理的证明从略，仅推导偏导数公式如下：（同时也提供了一种比较实用的方法）
设方程组 有隐函数组 则
说明：
1）定理的条件是充分的，如方程 在原点 不满足条件③,但它仍能确定唯一单值连续且可导函数
2）若③换成 ，则确定隐函数 在点 可导,且
定理的证明从略，仅对公式（1）作如下推导：
设方程 在点 的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数 ，则有恒等式
两边对x求导，得 由 ，得 。
例１验证方程 在点 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且
.-隐函数微分法
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第五节隐函数微分法
教学目的：(1)了解隐函数存在定理的条件与结论；
(2)会求隐函数的导数和偏导数。
教学重点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
将所给方程的两边对 求导，用同样的方法可得
解3：（用全微分法）
方程组两边求全微分，得
即
解得：
所以，有
内容小结:
隐函数的求导法则（分以下几种情况）：
； ；3． 4. ．
思考题：已知 ，其中 为可微函数，求
解答：z
作业:练习册P16---P19.
两边对x求偏导得 （这是关于 ， 的线性方程组）
在点P的某邻域内，系数行列式 故得
，
同理可得 ，
例5：设 ，，求 .
解1：直接代入公式；
解2：方程两边对 求导:
即
ห้องสมุดไป่ตู้在 的条件下，
例6：设 ， ，求 ， ， 和 .
解1：直接代入公式；
解2：运用公式推导的方法，将所给方程的两边对 求导并移项得
在 的条件下，
， .
定理的证明从略，偏导公式与一元隐函数类似，请自己推导.
例3设 ，求 .
解：令 则
例4设 ，求 ， ， .
思路：把 看成 的函数对 求偏导数得 ，把 看成 的函数对 求偏导数得 ，把 看成 的函数对 求偏导数得 .
解：令 则
把 看成 的函数对 求偏导数得
整理得
把 看成 的函数对 求偏导数得
整理得
时 的隐函数 ，并求这函数的一阶和二阶导数在 的值.
解：令 ，则
依定理知方程 在点 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 时
的函数 ．函数的一阶和二阶导数为
例2已知 ，求 .
解：令 则
所以
定理5.2（隐函数存在定理2）设函数 在点 的某一邻域内满足：
①具有连续的偏导数，
② ，
③ ，
则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它满足条件 ，并有
教学难点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
教学方法：讲练结合
教学时数：2课时
一、一个方程的情形
定理5.1 （隐函数存在定理1）设函数 在点 的某一邻域内满足：
①具有连续的偏导数 ，
② ，
③ ，
则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数 ，它满足条件 ，并有
. （1）
把 看成 的函数对 求偏导数得
整理得
二、方程组的情形
为了叙述方便，引入雅可比（Jacobi）行列式：
，
定理5.3（隐函数存在定理3）设 、 在点 的某一邻域内满足：
①具有对各个变量的一阶连续偏导数，
② ，
③ ，
则方程组 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它们满足条件 , ，并有