du z dv,
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
dzzdxzdy x y
zuzvdxzuzvdy ux v x uy v y
z u
udxudy x y
zf(u)u, zf(u)u
x
x y
y
(71)3
情形2 zf(u ,v),uu (t),vv(t), 则对 zf[u (t),v(t)有 ] 链式法则
d z fd u fd v d t u d t v d t
(7 1)4
其中d的 z称为全导 . 数 dt
例1 设 z f(u ,v )可 ,求 微 z f(x y ,x)的 y 偏 . 解 在 zf(x y ,x)中 y, 令 u x y ,v x,y 则由复合函数求偏导数链式法则可得
三、隐函数微分法
定理7.4 设二元 F(x函 ,y)在 数点 P0(x0,y0)的某 一邻域内具数 有 ,且连续偏导
F(x0,y0)0, Fy(x0,y0)0. 则由方 F(x程 ,y)0在点 (x0,y0)的某一邻域内 一地确定一个 数有 的连 函 y续 数 f(导 x),它满足 件y0 f(x0),且有
zfufv x ux vx
f 1 ( x y , x ) y y f 2 ( x y , x ) , y zf uf v y uy vy
f 1 ( x y , x ) x f y 2 ( x y , x ) . y
例2 设 z f(x x 2 y 2 ),且 f( u )可 ,求 微 z与 z . x y
解 在 z f ( x x 2 y 2 ) 中 , 令 u x x 2 y 2 ,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f ( u ) u (1 2 x2 )y f(x x 2 y 2 ),
x
x
z f (u)u 2 x 2 yf(x x 2 y 2 ).
y
y
例3 若f(x,y)满足 f(tx,ty)tkf(x,y)(k为正整 数),则称 f(x,y)是k的齐次,函 证数 明 :k次齐次函 数f(x,y)满足
xzz u zzu u x vzzvxv y uy vy
(710)
证明 我们只证 (710)中的第一个等式，第二个 等式可类似地证明.
对于任y意 ,给 x固 一定 个的 改 x, 变量 则得 u和 v的 到改 u和 变 v, 量
u u ( x x , y ) u ( x , y ) , v v ( x x , y ) v ( x , y ) ,
x2y y x2y
(2)由微分运算法则可得
dzarcytda xnxdarcytan
x
x
arcx ytdx an x11 (x y)2d(x y)
arcx yd txa xn x2x 2y2xd yx 2yd x
arc x y tx2 a x y n y 2 d xx2x 2y2d y 因此 x z arx y c x t 2 x a y 2 y n , y z x 2 x 2 y 2.
由711可得
z z u z v () x u x v x x
(7 1)2
在(71)2中
limuu, limv v x0x x x0x x
lim lim u2v2
x 0x x 0 x x
u2
v2
x x
情形1 z f( u ),u u (x ,y ),则 z f 对 [ u (x ,y )] 有链式法则
另z 外 tkf(x ,y), 则 dzktk1 f(x,y) dt
因此 ,对任t何 有 f 1 ( t,t x ) x y f 2 ( t,t x ) y y ktk1f(x,y)
令t1即得 x f x ( x , y ) y f y ( x , y ) k f ( x , y ) .
从而z得 f(u到 ,v)的改变量
z f ( u u , v v ) f ( u , v )
由f于 (u,v)可,则 微
z z u z v o () u v
其 中 ( u )2 ( v )2.
(7 1 )1
uu(x,y),vv(x,y)关x 于 的偏导 , 数
x 0 时 , u 0 , v 0 ,从 0 .而