动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题操作规程：1. 研究______________．2. 分析运动过程，分段，定范围．根据起点、终点，确定_____________．根据状态转折点确定_______________；常见状态转折点有拐点、碰撞点等．3. 分析_____________、表达、建等式．画出符合题意的图形，表达线段长，根据_____________建等式求解，结合范围验证结果．二、精讲精练1. 如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，∠B =60°．从初始时刻开始，点P ，Q 同时从点A 出发，点P以1厘米/秒的速度沿A →C →B 的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A →B →C →D 的方向运动，当点Q 运动到点D 时，P ，Q 两点同时停止运动．设P ，Q 运动x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分的面积为y 平方厘米，解答下列问题：（1）点P ，Q 从出发到相遇所用时间是____________秒；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当△APQ 是等边三角形时，x 的值为__________________；（3）求y 与x 之间的函数关系式．2. 如图，已知△ABC 中，AB =AC =10厘米，BC =8厘米，点D 为AB 的中点．A B C D（1）点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A 运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C提前4秒出发，点P以原来的运动速度从点B出发，都沿△ABC 的三边逆时针运动，当点Q首次回到点C时停止运动．设△CQP的面积为S，点Q运动的时间为t，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．（这里规定：线段是面积为0的三角形）3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发，沿CA以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原速度沿AC返回；点Q从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．伴随着P，Q的运动，DE始终保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动．设点P ，Q 运动的时间是t 秒（0t >）．（1）当t =2时，AP =_______，点Q 到AC 的距离是_______．（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式（不必写出t 的取值范围）．（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．（4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．A4. 如图，在Rt ABC △中，∠C =90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点．点P 从点D 出发，沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长度的速度匀速运动；点Q 从点B 出发，沿BA 方向以每秒4个单位长度的速度匀速运动．过点Q 作射线QK ⊥AB ，交折线BC -CA 于点G ．点P ，Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时，P ，Q 两点都停止运动，设点P ，Q 运动的时间是t 秒（0t >）．AB CA B C（1）D ，F 两点间的距离是__________________．（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．（3）当点P 运动到折线EF FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值．（4）连接PG ，当PG ∥AB 时，请直接．．写出t 的值．A BCDF三、回顾与思考【参考答案】知识点睛1．基本图形．2．时间范围；分段．3．几何特征；几何特征．精讲精练1．（1）6（2）8（3）2220 323 626962x xy x xx x x<⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+-<⎪⎪⎩≤≤（）（）（）2．（1）①△BPD与△CQP全等，理由略；②当点Q的运动速度为154厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等．（2）22838431648231620338xxS xxt-+<=-+<<-≤≤≤≤≤（）（）（）（）2011210315x⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪--<⎪⎩≤（）3．（1）1；85．（2）22655S t t=-+．（3）四边形QBED能成为直角梯形，98t=或158t=．（4）52t=或4514t=．4．（1）25．（2）射线QK能把四边形CDEF分成面积相等的两部分，578t=．（3）18541t=或152t=．（4）53t=或34043t=．动点问题（随堂测试）1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q分别从点A，B同时出发，速度均为1cm/s，动点P沿A→B→C→E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B→C→E→D的方向运动，到点D停止．设运动时间为x s，△P AQ的面积为y cm2（这里规定：线段是面积为0的三角形），解答下列问题：（1）当x =2时，y =_________；当92x =时，y =_________； （2）当514x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （3）当动点P 在线段BC 上运动，且154=y S 梯形ABCD 时，求x 的值． E D CB APQE D C B AE D C B A【参考答案】1．（1）2；9． （2）221657 59 2211935 913 22456 1314 x x x y x x x x x ⎧-+⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪-+<⎪⎪⎩≤≤≤≤（）（）（）． （3）7x =．动点问题（作业）1、 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC=，∠C =30°．点D 从点C 出发，沿CA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发，沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间为t 秒（0t >），过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE =DF ．（2）四边形AEFD 能成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由．（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．ECCBACBA2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别为边AC，BC的中点．点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB以每秒3个单位长度的速度向点B匀速运动；点Q也从点A出发，沿射线AB以每秒2个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（0t>）．（1）当点P到达点B时，求t的值．（2）设△BPQ的面积为S，当点Q在线段AB上运动时，求出S与t之间的函数关系式．（3）是否存在t值，使PQ∥DB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．Q PE DCBAE DCBAE DCBA3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点Q在斜边AB上，且AQ=2，过点Q作QR⊥AB，交折线AC-CB于点R．当点Q以每秒1个单位长度的速度向终点B运动时，点P同时从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AB-BC-CA运动，设运动的时间为t秒．（1）当t=1时，QR=________，△AQR的面积为________．（2）设△AQR的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（3）当t为何值时，PQ∥AC？（4）当t为何值时，直线QR经过点P？（5）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方作正方形PQMN，若正方形PQMN在Rt△ABC的内部，请求出此时t的取值范围．R Q CBACB ACB A【参考答案】1．（1）证明略．（2）四边形AEFD能成为菱形，103t=．（3）52t=或4t=．2．（1）4t=．（2）22439 0 347412 3312841447 3 5553t t t S t t t t t ⎧-+<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪-+<⎪⎩≤≤≤（）（）（）． （3）存在，6619t =．3．（1）94；278．（2）22333220 8225232224 8 335t t t S t t t ⎧++⎪⎪=⎨⎪-++<<⎪⎩≤≤（）（）． （3）379t =．（4）1t =或5t =．（5）823179t ≤≤且1t ≠．。