人工举升理论第10讲有杆泵 预测技术
概述
• 有杆抽油系统是目前国内外的主要采油方式。由于 其抽油机－抽油杆－抽油泵系统的复杂性，直到上世纪四 十年代后，才开始对它进行系统的理论研究。
• 有杆抽油系统行为预测，指在已知抽油机－抽油杆 －抽油泵系统和井下工况的前提下，对该系统各部分的静 态和动态特性进行分析，以便对该系统参数及各部分进行 设计计算和选择。
•底部受力为零
•在一、二级界面处的位移和力必须相等
•（二）多级杆的振动特性 •情况Ⅰ •根据四个条件，解波动方程就得出二级杆的位移方程：
•（二）多级杆的振动特性 •情况Ⅰ •x=L处的位移为
•x=0处的力为
•（二）多级杆的振动特性 •情况Ⅱ •杆柱顶部固定，底部受一简谐位移激励的情况，边界条件为 ：
根据虎克定律得到抽油杆内力fr，并对时 间取一次偏导数可得：
式中：
——抽油杆速度，m/s；
——抽油杆内力，N；
——液体对单位长度抽油杆的阻尼力，N/m；
——液体对抽油杆接箍的阻尼力，N/m。
杆柱与液体运动力学模型
•液柱运动模型：
根据力的平衡条件可得
连续方程为 液体密度是液体压力的函数
式中：
——液体密度，kg/m3；
•六种边界条件模拟示功图
下面给出了针对游梁式抽油机、单级杆柱、泵充满系数为100%条件下的一 组无因次关系曲线。
无因次柱塞冲程曲线
无因次光杆马力曲线
无因次光杆最大动载曲线
无因次光杆最小动载曲线
•API方法和预测模型的应用对比
适用范围
API方法
预测模型
抽油机
常规式
无限制
电机 杆柱 泵况
低转差率电机 无限制
5、泵尺寸与液体惯性的关系：
大泵举升的液体质量更多，惯 性载荷与质量成正比，所以大泵 的液体惯性力较大。
63.5mm泵最大泵载与水力静载之比2.3
44.5mm泵最大泵载与水力静载之比1.8
82.6mm泵最大泵载与水力静载之比3.0
•液柱对杆柱运动的影响：
6、液体压缩系数与液体惯性的关系：
压缩系数低的液体更近似于固体。在 压缩量不变的情况下，低压缩系数的液 体需要的体积比较大。泵的最大载荷与 静液载之比与液体压缩系数成反比。
•3）固定阀关闭，游动阀打开：
•初始条件和边界条件：
3、凡尔校验： ✓校验固定凡尔打开
✓校验游动凡尔打开
✓校验双凡尔关闭 如果以上两个校验都不满足，则说明双凡尔关闭。已经计算的值fr、 vr、pf和vf都是正确的。
•液柱对杆柱运动的影响：
1、液体粘度的影响：
•可以看出，泵冲程随粘度 的增加而下降。因为粘性阻 力耗散了一部分系统能量。
液体惯性对柱塞载荷的影 响
•液柱对杆柱运动的影响：
3、井深与液体惯性的关系：
浅井与深井对比，其作用于泵 上静压和杆柱重力都比较小，从 这个意义上讲，浅井的液体静压 和杆柱重力相比显得较大。
井深371.86m最大泵载与水力静载之比 2.4
井深914m最大泵载与水力静载之比 1.3
井深152.4m最大泵载与水力静载之比2.8
•抽油杆柱运动力学模型
•上式经过数学变换及简化，可得下式：
•Gibbs方程
•式中
为井液对抽油杆阻尼系数。
•它是一个线性二阶偏微分方程（双曲型） 。
•方程的有限差分解：
•根据牛顿前差分公式：
•得出牛顿中心差分公式：
•方程的有限差分解：
•同理得：
•带入Gibbs方程，化简得到：
•有限差分格式
✓动载荷： •对悬点载荷，采用牛顿前插公式：
钢抽油杆
油管锚定、 液体充满
钢、混合杆、 加重杆
无限制
无因次柱塞冲程对比曲线
无因次柱塞冲程对比曲线
图中：a一S=3的四连杆运动；b一S=1.8的四连杆运动；c一有二次谐波的简谐运动 ；d一简谐运动；e一API曲线。
由对比曲线可知：（1）预测做出的曲线一般比API曲线偏高；（2）悬点运动规律的 改变较大地影响系统的工作状态，所以做出的曲线不重合；（3）无因次曲线b与c非常 一致或接近，这说明两者悬点运动规律近似，适当地加长连杆长度及减小曲柄半径，使 悬点运动规律更近似于简谐运动，从而可改善杆柱受力状况；（4）对应不同悬点位移 函数的数值模拟求得的无因次柱塞冲程曲线，均在N/N0=0.25处出现极值点。
考虑液体惯性的预测模型
•液体惯性对抽油系统运动有一定的影响，特别是在浅井 大泵大排量的情况下，影响较为明显。 •D.R. Doty和Z. Schmidt于1983年提出同时考虑了液体和 抽油杆运动的数学模型。该模型基于三点假设： ➢油管锚定 ➢液柱不包含气体 ➢低转差率电机
•抽油杆运动模型：
由力的平衡可以得出
•针对该方法存在的一些问题，S.G. Gibbs于1963年提出了 有杆抽油系统的行为预测模型，并于1977年进行了总结归 纳。
•预测有杆系统的行为包含描述杆柱运动的偏微分方程、边界条件（包括 光杆运动条件及井下泵的抽汲条件）和初始条件。这构成了用以描述有 杆抽油系统动态的基本数学模型。
•杆柱运动偏微分方程为
•对泵处载荷，采用牛顿后插公式：
✓静载荷：
✓位移： •第i级杆下端的静伸长为： •第i级杆下端的静位移：
•泵处的静位移：
•收敛条件：
•令v=0，可得
•Hornbeck指出，有限差分解的Ui,j项的系数如果是负值的话，则其 解是不稳定的，所以有限差分解的收敛条件是：
•即
•初始条件和边界条件：
1、初始条件： •在确定初始条件时可以以静位移为初始条件，也可以假定任意的初始 条件例如零初始条件，一般经过3-4个循环就可以收敛到稳解。停止循 环的条件是
•在一、二级界面处的位移和力必须相等
•（二）多级杆的振动特性 •情况Ⅱ •根据四个条件，解波动方程就得出二级杆的位移方程：
•（二）多级杆的振动特性 •情况Ⅱ •x=0处的力为
•x=L处的力为
有杆抽油系统的Βιβλιοθήκη 测模型•通过数以万计油井的实践，证明API方法是可行的，但由 于该方法的诸多假设前提，使得在特殊情况（既不符合或 不完全符合假设前提）下的应用存在一定偏差。
•原苏联威尔诺夫斯 基根据振动理论推导 出考虑了抽油杆弹性 影响的悬点动载计算 公式，并计入了液柱 动载对振动的影响。
•美国“中西部研究所” 也于上世纪六十年代 完成了关于抽油杆模 拟计算的一些成果， 也就是目前的API方法 ，即1967年公布的API RP 11L“API有杆抽油 系统的设计计算推荐 方法”。
式中：
Dt——油管内径，m；
——液体压力，N/m。
•初始条件和边界条件：
1、初始条件： •选取驴头下死点为起始点，这时
2、边界条件： ✓地面边界条件 •地面边界条件有悬点速度vr(0,t)和油管压力pf(0,t)：
•初始条件和边界条件：
✓井下边界条件 •1）游动阀和固定阀均关闭：
•2）游动阀关闭，固定阀打开：
•抽油杆柱振动特性分析：
•杆柱的固有频率是影响有杆抽油系统的唯一重要因素。杆柱行为可以 由以下两部分组成： ➢杆柱在顶部受正弦激励，底部自由； ➢杆柱在顶部固定，底部承受正弦位移。该位移的幅度和相位必须使泵 处的等效力和位移与简化前泵处的力和位移相等。如下图所示：
•杆柱运动的力学模型
•该力学模型可进一步简化为下图所示。
•力学模型的进一步简化
•（一）直杆的振动特性
•情况Ⅰ •在不考虑重力和阻尼力的情况下，由力的平衡原理可以写出无阻尼波 动方程：
•（一）直杆的振动特性 •情况Ⅰ •顶部边界条件为： •底部为自由端，其边界条件为：
•根据两个边界条件，可解得：
•——应力波（或声波）在杆中的传播速度，m/s。
•（一）直杆的振动特性 •情况Ⅰ •x=L处的位移为
vf——液体速度，m/s；
pf——液体压力，N/m2；
At——油管内孔面积，m2 ；
Ar——抽油杆面积，m2；
Fft——油管内壁对单位长度液柱的
阻尼力，N/m。
杆柱与液体运动力学模型
•阻尼力计算：
抽油杆的阻尼分为三部分： ✓液体对单位长度抽油杆（不考 虑接箍）表面的粘性阻尼力Frf； ✓液体对接箍（折合为单位长度 抽油杆）表面的粘性阻尼力Fcf； ✓油管对单位长度抽油杆的摩擦 力Frt。
•液柱对杆柱运动的影响：
4、泵速与液体惯性的关系：
高泵速产生较高的加速度，可 以发现泵最大载荷与静液载之比 与泵速成正比。
泵速8min-1时最大泵载与水力静载之比 2.3
泵速5min-1时最大泵载与水力静载之比 1.9
泵速10.66min-1时最大泵载与水力静载之比 3.0
•液柱对杆柱运动的影响：
2、上边界条件： •上边界条件可以根据抽油机几何运动特性求出。
3、下边界条件：
•下边界条件则以泵的抽汲特性给定：
•初始条件和边界条件：
➢当
时，有
这意味着井下泵自由，不受载，它是下冲程游动凡尔打开的状态。
➢当
时，泵的状态成为
这意味着泵在某个位置固定不动，它是在液体载荷传递过程时的状
态。 ➢当
时，泵的状态成为
•1963年，S.G.Gibbs提出了 杆式抽油系统的预测模型 。
•1987年，D.J. Schafer和 J.W. Jennings解决了多级 杆及混合杆柱的设计问题 。
•1983年，D.R. Doty和Z. Schmidt提出了同时考虑液 体运动和抽油杆运动的预 测模型。
•1989年，余国安等提出了 同时考虑抽油杆、液柱和
API方法
•中西部研究所将有杆抽油系统设想为如下图所示的近似机械系统，即弹簧－质量－阻尼 系统。弹簧模拟抽油杆的弹性，集中质量模拟抽油杆的质量，阻尼模拟作用于抽油杆的 摩阻。然后采用电阻、电感、电容和导线组成的电路模拟这个近似机械系统。