2020年全国体育单招数学测试题（十二）
考试时间：90分钟 满分150分
一、单选题（6×10=60分）
1．设集合()(){}|410?A x Z x x =∈-+＜，集合B={}2,3,4，则A B I =（ ）
A ．（2,4）
B ．{2.4}
C ．{3}
D ．{2,3} 2．函数22cos 1y x =-的最小正周期为（ ）
A ．2π
B ．π
C ．2π
D ．4π 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．y x =- B ．21y x =-
C ．cos y x =
D ．12y x =
4．22cos sin 88π
π
-=( )
A
．2 B
．2- C ．12 D ．1
2- 5．设向量()111022a b ⎛⎫
== ⎪⎝⎭v v ，，，，则下列结论正确的是（ ）
A ．a b =r r B
．2a b ⋅=r r C ．()a b b -⊥r r r
D ．//a b r r
6．已知数列{}n a 为等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“12a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．1+
D ．1+ 8．已知302
x ≤≤，则函数2()1f x x x =++( ) A ．有最小值34-，无最大值 B ．有最小值34
，最大值1 C ．有最小值1，最大值194 D ．无最小值和最大值
9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥
①若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥
①若//m α，//n α，则//m n
①若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
其中正确命题的序号是（ ）
A ．①和①
B ．①和①
C ．①和①
D ．①和① 10．不等式
22x x +≥的解集为（ ） A ．[]0,2
B ．(]0,2
C ．(][),02,-∞+∞U
D ．()[),02,-∞+∞U
第II 卷（非选择题)
二、填空题（6×6=36分）
11．甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有_______种．
12．若双曲线22
154
x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为________. 13．()10
x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案) 14．曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为__________.
15．已知A ，B ，C 是球O 球面上的三点，AC ＝BC ＝6，AB =OABC 的体积为24．则球O 的表面积为_____．
16．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是23
，没有平局，若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于__________.
三、解答题（3×18=54分）
17．已知等比数列{}n a 各项都是正数，其中3a ，23a a +，4a 成等差数列，532a =. ()1求数列{}n a 的通项公式；
()2记数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
18．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为14-. （1）求椭圆C 的离心率；
（2）若直线()112y x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AOB V （O 为坐标原点），求椭圆C 的标准方程.
19．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形．
（1）证明：A1C1//平面ACD1；
（2）求异面直线CD与AD1所成角的大小；
（3）已知三棱锥D1﹣ACD的体积为2
3
，求AA1的长．
参考答案
1．D ；2．B ；3．B ；4．A ；5．C ；6．A ；7．B ；8．C ；9．A ；10．B 11．24；12．6；13．12；14．45°；15．136π；16．2027
17．解：()1设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得()23345232
a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即
23
11141232
a q a q a q a q ⎧+=⎨=⎩. Q 0n a >，∴0q >，解得122q a =⎧⎨
=⎩. ∴2n n a =.
()2由已知得，()212221log log log 2n n n n S a a a +=+++=L ， ∴()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和11111221()22311
n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 18．解：（1）由题，椭圆上顶点的坐标为()0,b ， 左右顶点的坐标分别为(),0a -、(),0a ， ①1
4b
b a a ⎛⎫
⋅-=- ⎪⎝⎭，即224a b =，则2a b =， 又222a b c =+，
①=c ，
所以椭圆的离心率c e a ==
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由()
22
22
1
41
12x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得：2222140x x b ++-=， 2123280,1b x x ∴∆=->+=-，212142b x x -=， ①
A B =
==
又原点O 到直线的距离
d =
①12AB d ⋅⋅= ①21b =，满足204a ∆>∴=，
①椭圆C 的方程为2
214
x y +=. 19．解：（1）证明：在长方体中，因A 1A ＝CC 1，A 1A //CC 1，可得A 1C 1//AC ， A 1C 1不在平面ACD 1内，AC ①平面ACD 1， 则A 1C 1//平面ACD 1；
（2）解：因为CD ①平面ADD 1A 1，AD 1①平面ADD 1A 1，可得CD ①AD 1， 所以异面直线CD 与AD 1所成角90° （3）解：由三棱锥D 1﹣ACD 的体积为23， 由于1D D ⊥平面ACD ，且11D D A A = 可得111222323
AA ⨯⨯⨯⨯=， ①AA 1＝1．。