立体几何练习1. 如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC12AD CD AB ==，且O 为AB 中点. ( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .2.如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠= ,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC的中点，DM =（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （Ⅲ）求三棱锥M-BACDOPABCCMODC3. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ．4. 已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB =（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．PABC D Q M5. 已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点. (I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ； （II ）求证：⊥1BC 平面EAD .6. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠= ，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ；（Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.7. 如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD.D1C FEBAC1A 1B ABCDFEPD．8.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12（I）证明：PQ⊥平面DCQ；（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．9. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。

（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；（2 ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。

参考答案：1. 证明: (I) 因为O 为AB 中点，所以1,2BO AB = 又//,AB CD 12CD AB =， 所以有,//,CD BO CD BO = 所以ODCB 为平行四边形, 所以//,BC OD又DO ⊂平面,POD BC ⊄平面,POD 所以//BC 平面POD . (II)连接OC .因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为 平行四边形， 又AD CD =,所以ADCO 为菱形， 所以 AC DO ⊥，因为正三角形PAB ,O 为AB 中点， 所以PO AB ⊥ ，又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD 平面PAB AB = ， 所以PO ⊥平面ABCD ， 而AC ⊂平面ABCD ，所以 PO AC ⊥， 又PO DO O = ，所以AC ⊥平面POD . 又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD . 2. （Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点， 所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . 因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ，BACDOP所以//OM 平面ABD . （Ⅱ）证明：由题意，3OM OD ==,因为DM =所以90DOM ∠= ，OD OM ⊥. 又因为菱形ABCD ，所以OD AC ⊥. 因为OM AC O = ,所以OD ⊥平面ABC ， 因为OD ⊂平面MDO ， 所以平面ABC ⊥平面MDO .（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积.由（Ⅱ）知，OD ⊥平面ABC ，所以3OD =为三棱锥D ABM -的高.ABM ∆的面积为11sin1206322BA BM ⨯⨯=⨯⨯=所求体积等于132ABM S OD ∆⨯⨯=. 3. 证明：（Ⅰ）AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． ∵ PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ． ∵ PQ ∩BQ =Q ，∴AD ⊥平面PBQ ．（Ⅱ）当1t =时，PA //平面BMQ ．连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ．ABCMODCC∵BC //12DQ ， ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， ∵点M 是线段PC 的中点， ∴ MN // PA ．∵ MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ，∴ PA // 平面BMQ ． 4. （Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 的中点， 所以EO ∥PC ． 因为EO ⊂平面BDE PC ⊄平面BDE 所以PC ∥平面BDE ．（Ⅱ）证明：连结OP 因为PB PD =，所以OP BD ⊥．在菱形ABCD 中，BD ⊥因为OP AC O = 所以BD ⊥平面PAC 因为BD ⊂平面BDE所以平面PAC ⊥平面BDE ．5. （Ⅰ）由已知可得1//AF B E ，1AF B E =， ∴四边形E AFB 1是平行四边形，∴1//FB AE ，AE ⊄ 平面FC B 1，1FB ⊂平面FC B 1，//AE ∴平面FC B 1；又 E D ,分别是1,BB BC 的中点，∴C B DE 1//，ED ⊄ 平面FC B 1，1BC ⊂平面FC B 1， //ED ∴平面FC B 1；,AE DE E AE =⊂ 平面EAD ，ED ⊂平面EAD ，∴平面FC B 1∥平面EAD . (Ⅱ) 三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱， ∴⊥C C 1面ABC ，又 ⊂AD 面ABC ， ∴⊥C C 1AD .又 直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 是BC 边中点， ∴ABC ∆是正三角形，∴BC AD ⊥，而1C C BC C = ， 1CC ⊂面11B BCC ，BC ⊂面11B BCC ，⊥∴AD 面11B BCC ， 故 1AD BC ⊥ .四边形11BCC B 是菱形，∴C B BC 11⊥，而C B DE 1//，故 1DE BC ⊥ ,由D DE AD = AD ⊂，面EAD ，ED ⊂面EAD ，得 ⊥1BC 面EAD .6. (Ⅰ)证明：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠= ，所以DE ⊥平面ABCD ， 所以AC DE ⊥. 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE .(Ⅱ)证明：设AC BD O = ，取BE 中点G ，连结OG FG ,，所以，OG //=12DE . 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ， 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. 因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , 所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . （Ⅲ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面ADEF .因为DE AF //,90ADE ∠= ,22===AF DA DE ， 所以DEF ∆的面积为122ED AD ⨯⨯=， 所以四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 3143. 7. 解：（1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点，,EF PD ∴ 又,PD PCD EF PCD ⊂⊄ 面面∴直线EF//平面PCD（2）连接BD AB=AD,BAD=60,∠ ABD ∆为正三角形 F 是AD 的中点，,BF AD ∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ABCD AD,⋂面面＝,BF PAD BF BEF ∴⊥⊂面面 所以，平面BEF ⊥平面PAD.8. 解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=2PD ，则PQ ⊥QD所以PQ ⊥平面DCQ. （II ）设AB=a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3V a =由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而，△DCQ 的面积为22a ， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3V a =故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1 9. （1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ⋂ＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD 平面BDC.∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）由（1）知，DA DB ⊥,DB DC ⊥,DC DA ⊥, DB=DA=DC=1，∴1111,22DAM DBC DCA S S S ===⨯⨯= 1sin 6022ABC S =︒=∴三棱锥D —ＡＢＣ的表面积是132S =⨯+=。