1、（本题满分7分）如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：（1）CG AE =；（2）.MN CN DN AN ∙=∙2、(本题满分7分)如图11，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ．（1）求四边形CEFB 的面积；（2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若 15=∠BEC ，求AC 的长．3、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.4、如图（4），在正方形ABCD 中，E F 、分别是边A D C D、上的点，14A E E DD F D C ==，，连结EF 并延长交BC 的延长线于点G ． （1）求证：ABE DEF △∽△； （2）若正方形的边长为4，求BG 的长．A E D FBC 图（4）5．如图（15），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒． （1）求边BC 的长；（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；（3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 6．（本题满分9分）一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2． 你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）B图（5）图１Ｅ G ＢACF DＣD F 图２第6题图7、如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点F 、E ，使OF=2OA ，OE=2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）． （1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明； （2）当α=30°时，求证：△AOE1为直角三角形．8、（本题满分12分）将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC ′= °．图1 图2C'A'B A D CABCDBCD A (A')C'问题探究如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ，AC =k AF ，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由.图4MNGFECBAH图3AB CEFGPQ9.（本小题12分）如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：（1）、能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由；（2）、再次移动三角板的位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。

参考答案1、 证明：（1） 四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形,,90,AD CD DE DG ADC EDG ∴==∠=∠= ,ADE CDG ADE CDG ∴∠=∠∴△≌△， 3分AE CG ∴= 4分（2）由（1）得 ，又CND ANM DCG DAE CDG ADE ∠=∠∠=∠∴∆≅∆,, ∴∆AMN ∽∆CDNAN MNAN DN CN MN CN DN∴=∙=∙，即2、解：（1）由平移的性质得//3EFA BAF ABC AF BC AF BC EFA ABC AFBC S S S ∆∆∆=∴∴===且，△≌△，四边形为平行四边形，，9EFBC ∴四边形的面积为． ·········································································· 3分 （2）AF BE ⊥．证明如下：由（1）知四边形AFBC 为平行四边形////BF AC BF AC AE CA BF AE BF AE EFBA AB AC AB AE ∴==∴=∴=∴=且，又，且，四边形为平行四边形又已知，，EFBA BE AF ∴∴⊥平行四边形为菱形，·························································· 5分 分为正数且则设中在，，，，于作7......................32,3,,3,22121,3,2,.2,,3021515)3(22=∴=∴=∴=∙∙=∙======∆∴=∠=∠∴=∠=∠∴==∠⊥∆∆AC x x x x x x BD AC S S x AB AC x BD BD AB BAD Rt BEC BAC BEC EBA AB AE BEC D AC BD ABC ABC 3、（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC AB ∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC CD=AB=4又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD 在Rt △ADE 中，DE=63)33(2222=+=+AE AD∵△ADF ∽△DEC ∴ CDAFDE AD =∴4633AF = AF=32 4、（1）证明：ABCD 为正方形，90AD AB DC BC A D ∴===∠=∠=，°． 1分12AE AE ED AB =∴=，．3分 又1142DF DF DC DE =∴=，．AE DFABE DEF AB DE ∴=∴．△∽△．5分 （2）解：ABCD 为正方形，ED DFED BG CG CF ∴∴=∥．．7分 又14DF DC =，正方形的边长为4．26ED CG ∴==，． 9分10BG BC CG =+=．5．解：（1）作CE AB ⊥于点E ，如图（3）所示，则四边形AECD 为矩形．46AE CD CE DA ∴====，．························· 1分 又3344CE i EB ∴=∴=∶，．812EB AB ∴==，．·······································2分 在Rt CEB △中，由勾股定理得：10BC ==． ··································································· 3分（2）假设PC 与BQ 相互平分． 由DC AB ∥，则PBCQ 是平行四边形（此时Q 在CD 上）． 4分图（3）AB即310122CQ BP t t =∴-=-，．5分 解得225t =，即225t =秒时，PC 与BQ 相互平分． 7分 （3）①当Q 在BC 上，即1003t ≤≤时，作QF AB ⊥于F ，则CE QF ∥．QF BQ CE BC ∴=，即396105QF t tQF =∴=．．8分 119(122)225PBQ tS PB QF t ∴==-△··=2981(3)55t --+． 9分当3t =秒时，PBQ S ∴△有最大值为2815厘米． 10分②当Q 在CD 上，即101433t ≤≤时，11(122)622PBQ S PB CE t ∴==-⨯△·=366t -． 11分 易知S 随t 的增大而减小．故当103t =秒时，PBQ S ∴△有最大值为210366163-⨯=厘米．29541055381165101463633t t t y t t ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎪⎝⎭>=⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，0≤，．≤≤ 综上，当3t =时，PBQ S △有最大值为2815厘米．12分 6、（本题满分9分）解：由 1.5AB =m ， 1.5ABC S =△m 2，可得2BC =m ． 由图1，若设甲设计的正方形桌面边长为x m ， 由DE AB ∥，得CDE CBA Rt △∽Rt △， 21.52x B C x x xA B B C --∴==，即，363 1.52 3.57x x x ∴-===，m ． 4分由图2，过点B 作ABC Rt △斜边AC 上的高BH 交DE 于P ，交AC 于H ．由 1.5AB =m ，BC =2m ，得 2.5AC ===（m ）． 图１ＣＢDF由AC BH AB BC =可得， 1.521.22.5AB BC BH AC ⨯===m ． ··················· 6分 设乙设计的桌面的边长为y m ，D E A C ∥，BDE BAC ∴Rt △∽Rt △，B P D EB H AC ∴=即1.21.2 2.5y y -=，解得3037y =m ．226303073537x y =>>，，∴甲同学设计的方案较好7、答案：（1）用边角边证明△AOE ’和△BOF ’全等，即可证得AE ’=BF ’(2)取OE ’的中点G,得到等边△AOG ，等到∠AGO=60°，又由AG=E ’G 得到∠AE ’O ＝30°，从而得到∠OAE ’是90°，即为直角三角形。