4．已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 CD、AD 的中点，连接 AE， CF，求证：△ADE≌△CDF．
5．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作对角线 BD 的
垂线交 BA 的延长线于点 E． （1）证明：四边形 ACDE 是平行四边形； （2）若 AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．
矩形、菱形、正方形（解答题）
1．如图，在平行四边形 ABCD 中，BC=2AB=4，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当四边形 AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．
2．如图，四边形 ABCD 是菱形，CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F，求证：DF=BE．
11．如图，在四边形 ABCF 中，∠ACB=90°，点 E 是 AB 边的中点，点 F 恰是点 E 关于 AC 所在直线的对称点． （1）证明：四边形 CFAE 为菱形； （2）连接 EF 交 AC 于点 O，若 BC=10，求线段 OF 的长．
12．如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以点 B、F 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于一点 P，连 接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF． （1）四边形 ABEF 是 ；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写 结果） （2）AE，BF 相交于点 O，若四边形 ABEF 的周长为 40，BF=10，则 AE 的长为 ， ∠ABC= °．（直接填写结果）
17．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB=AO，求∠ABD 的度 数．
18．已知：如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，且 BE=CF， EF⊥DF，求证：BF=CD．
19．如图，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，M 是边 CD 上一点，将△ADM 沿直线 AM 对折，得到△ANM． （1）当 AN 平分∠MAB 时，求 DM 的长； （2）连接 BN，当 DM=1 时，求△ABN 的面积；
13．如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，过 AC 的中点 O 作 EF⊥AC，交 BC 于点 E， 交 AD 于点 F，连接 AE，CF． （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 AB= ，∠DCF=30°，求四边形 AECF 的面积．（结果保留根号）
14．如图，已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线． （1）用直尺和圆规作线段 BD 的垂直平分线，分别交 AD、BC 于 E、F（保留作 图痕迹，不写作法和证明）． （2）连结 BE，DF，问四边形 BEDF 是什么四边形？请说明理由．
22．阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图 1，我们把一个四边形 ABCD 的四 边中点 E，F，G，H 依次连接起来得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗？ 小敏在思考问题是，有如下思路：连接 AC．
3．如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开，得到△ACD， 再将△ACD 沿 DB 方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点 D′未到达点 B 时， A′C′交 CD 于 E，D′C′交 CB 于点 F，连接 EF，当四边形 EDD′F 为菱形时，试探究△ A′DE 的形状，并判断△A′DE 与△EFC′是否全等？请说明理由．
9．如图，△ABC≌△ABD，点 E 在边 AB 上，CE∥BD，连接 DE．求证： （1）∠CEB=∠CBE； （2）四边形 BCED 是菱形．
10．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，点 E 是 AC 的中点，AC=2AB，∠BAC 的平 分线 AD 交 BC 于点 D，作 AF∥BC，连接 DE 并延长交 AF 于点 F，连接 FC． 求证：四边形 ADCF 是菱形．
（3）当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时，求 DF 的最大值．
20．如图，菱形 AB四边形 AODE 是矩形．
21．如图，将平行四边形 ABCD 的边 AB 延长到点 E，使 BE=AB，连接 DE，交边 BC 于点 F． （1）求证：△BEF≌△CDF； （2）连接 BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形 BECD 是矩形．
15．如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的 点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处． （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；
（2）若 AB=6，AC=10，求四边形 AECF 的面积．
16．如图，矩形 ABCD 中，延长 AB 至 E，延长 CD 至 F，BE=DF，连接 EF，与 BC、 AD 分别相交于 P、Q 两点． （1）求证：CP=AQ； （2）若 BP=1，PQ=2 ，∠AEF=45°，求矩形 ABCD 的面积．
7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，BF∥CE 交 DE 的延长线于点 F． （1）求证：四边形 ECBF 是平行四边形； （2）当∠A=30°时，求证：四边形 ECBF 是菱形．
8．如图，AE∥BF，AC 平分∠BAE，且交 BF 于点 C，BD 平分∠ABF，且交 AE 于 点 D，AC 与 BD 相交于点 O，连接 CD （1）求∠AOD 的度数； （2）求证：四边形 ABCD 是菱形．
6．如图，把△EFP 放置在菱形 ABCD 中，使得顶点 E，F，P 分别在线段 AB，AD， AC 上，已知 EP=FP=6，EF=6 ，∠BAD=60°，且 AB＞6 ． （1）求∠EPF 的大小； （2）若 AP=10，求 AE+AF 的值； （3）若△EFP 的三个顶点 E、F、P 分别在线段 AB、AD、AC 上运动，请直接写 出 AP 长的最大值和最小值．