第一讲函数、极限、连续1、 基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。

2、 函数的性质，奇偶性、有界性设a, 3是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则a(1)若lim 一 = 0，则a 是比3a（2）若lim — = C （不为 0）,3a (3)若lim — =3记忆方法：看谁趋向于 4、两个重要极限，贝y a 与3是低阶无穷小量sinx X ,=lim ----- =1X T 。

si nx拼凑lfm*] Tm 。

*] =0，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致⑵ lim1」「lim （1+xleXX 丿 X T 。

1时〔卩Le使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

奇函数:f(-x)=-f(x), 图像关于原点对称。

偶函数:f (-X)= f(x), 图像关于y 轴对称3、无穷小量、 无穷大量、阶的比较 特别地，若lim — =1，则 3a 与3是等价无穷小量(3高阶的无穷小量。

则a 与3是同阶无穷小量0的速度快，谁就趋向于 0的本领高。

（1）lim T X使用方法: Pn(X)5、lim — --- = X*Qm （X ）,n = m b o0,n V mV-巳(X )的最高次幕是n,Q m(x )的最高次幕是m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于无穷大的速度n A m,分子以更快的速快。

n = m,以相同的比例趋向于无穷大；n < m，分母以更快的速度趋向于无穷大;度趋向于无穷大。

lim f(X)= A 充分必要条件是 lim f (x) = lim f (x) = A—X1^X0+注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。

8连续、间断连续的定义：lim ；y =1四〔f(X 0 + A x)- f(X 0)]=0或lim f(X)= f (x 0)x _3X 0间断：使得连续定义lim f(X)= f (x 0)无法成立的三种情况[f (X 0)不存在，f(X 0)无意义 { lim f (x)不存在X —3^0lim f(X)H f (X 0)记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质(1) 最值定理：如果f(x) 在a,b ］上连续，则f(X)在Ia,b ］上必有最大值最小值。

(2)E 零点定理：如果f(x)在a,b ］上连续，且f (a) f (bp ： 0，则f(x)在(a,b)内至少存在一点1、罗尔定理7、左右极限左极限:lim f (X) =A X _^-右极限: lim f (X) =A X —^十(1 )、第二类间断点:lim_f(X)、lim J (x)至少有一个不存在^X ) 一^3X 0(2)、第一类间断点:lim f(X)、lim f(x)都存在I X )一1X0 +'可去间断点: ［跳跃间断点: lim_f (x)= 1X 0 —lim f (x) 1X 0-lim f(x) X T X 0 十limf (x)，左右只要有一个不存在，就是"第二类”然后再判断是不是第如果函数y= f(x)满足：(1)在闭区间［a,b I上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f(a)= f (b)，则在(a,b)内至少存在一点匕，使得f '(匕)=o 记忆方法：脑海里记着一幅图：t2、拉格朗日定理如果y = f (x)满足(1)在闭区间a,b上连续(2)在开区间(a,b)内可导；匸…、f(b)-f(a)则在(a,b)内至少存在一点匕，使得f (©) = ———— b —a脑海里记着一幅图:------ ►a b(*)推论1 :如果函数y= f(x) 在闭区间［a,b上连续, 在开区间(a,b)内可导，且厂(口三0, 那么在(a, b)内f (x) =c恒为常数。

记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为o。

(*)推论2:如果f (x),g(x)在a,b］上连续，在开区间(a,b) 内可导，且f'(X)三g'(x),x忘(a,b)，那么f(X)= g(x) +c3、驻点满足f'(X) =0的点，称为函数f(x) 的驻点。

几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设f(X)在点x o的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点f (x)的极大值，x0称为极大值点。

X,有f (X)</\f (X o)，则称f (X o)为函数x,有f(x) >设f(x)在点X o的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点V "f (x o)，则称f (x o)为函数取得极值的必要条件可导函数f(X)在点x 0处取得极值的必要条件是 f '(X 0)=0取得极值的充分条件 第一充分条件： 设f(X)在点x 0的某空心邻域内可导，且f(X)在x 0处连续，则如果XCX 0时，f'(X)A 0; X A X 0时，f'(x)v0,那么f(x)在x 0处取得极大值fX)；如果x<x 0时，f'(x)c0； x>x 0时，f'(x)A0，那么f (x)在x 0处取得极小值f(x 0)；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。

第二充分条件： 设函数f (x)在点X 0的某邻域内具有一阶、二阶导数，且 f &0)= 0，f "(X 0)H 0则(1)如果f"(x 0)v0，那么f (x)在x 0处取得极大值f (x 0)；(2)如果 f "(X 。

) > 0，那么f (x)在x 0处取得极小值f (x 0)f(x) 的极小值，x0称为极小值点。

记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。

拐点的概念 连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。

5、 6、单调性的判定定理 设f(x)在(a,b)内可导，如果f'(x)：>0，则f(x)在(a,b)内单调增加; 如果f '(X)C 0，则f (x)在 (a,b) 内单调减少。

记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加,f'(x)〉0 ；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少,f'(x”0；7、如果在点x 0的两侧，f '(X)同号，那么f(X)在x 0处没有取得极值;11、9、 凹凸性的判定设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，(1)如果「(x) A 0,x 忘(a,b)，那么曲线 f(x) 在 (a,b) 内凹的;(2)如果f “(X)< 0,x 珂a,b)，那么f (x)在(a,b)内凸的。

曲线f(x)在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。

10、图像表现:：凹的表现渐近线的概念⑵垂直渐近线：若存在点x 0, lim f(X)=处，则y = f (x)有垂直渐近线x = x 。

-ax 」= b ，贝y y = ax + b 为其斜渐近线。

如果遇到幕指函数,需用f (x)虫"把函数变成“ 0”凸的表现(2)遇到11、0 第二讲导数与微分1、导数的定义dt(5)、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 (6 )、幕指函数求导 幕指函数y =u(x)心，利用公式a =elna2、 3、 4、(1)、fg 唧 gE/f(X 0 7x)—f (X 0)] = O(2)、伦)=,『"叭3(3)、f'(X 0)询 fg —g j X - x 0注：使用时务必保证 Xo 后面和分母保持一致，不一致就拼凑。

导数几何意义：f '(X 0)在X = X0处切线斜率 法线表示垂直于切线，法线斜率与 f(xj乘积为一1 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。

求导方法总结 (1 )、导数的四则运算法则(U 中 V )+ v '(U 2)，= U V •u〔叮_uV-vuI v 丿 V 2(2)、复合函数求导：y = f b(x )】是由y = f (u)与u = 9(x)复合而成，则dy dy du--- = ----- * ----dx du dx(3 )、隐函数求导对于F(x,y)=O ， 遇到y ,把y 当成中间变量U ,然后利用复合函数求导方法。

(4)、参数方程求导仪_9(t)确定一可导函数(t)y = f (x)，则dx dydy _ dt _ 9 '(t) dx屮址) dtd 2y dx 2d(dX) dx d (黑 dx dt dxv （x ） In u （x ）e然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。

第二种方法可使用对数求导法, 注：优选选择第二种方法。

对函数 f （x ） 多次求导，直至求出。

所以可导比连续的要求更高。

第四讲不定积分、原函数与不定积分 原函数：若F （X ）= f （X ），则F （X ）为f （X ）的一个原函数;2、不定积分：f （X ）的所有原函数F （x ）+c 叫做f （X ）的不定积分，记作J f （x ）dx=F （x ） +C二、 不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式 三、 不定积分的重要性质〔Jfgdx 】=f (x)或d Jf(x)dx = f (x)dx注：求导与求不定积分互为逆运算。

积分方法 1、 基本积分公式2、 第一换元积分法（凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。

5、高阶导数 I / X v ( X )y= elnu(x)先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导6、 微分7、 dy = y dx记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加 可微、可导、连续之间的关系可微二可导可导=连续，但连续不一定可导 可导与连续的区别。

脑海里记忆两幅图dx ，不需要单独记忆。

2y = X 在x=0既连续又可导。

X 在x=0只连续但不可导。

1、 1、2、J f (x)dx = f(X) + c四、3、第二换元积分法J ax + b,令 t = J ax2 2 2 2三角代换主要使用两个三角公式：sin t + cos t = 1, 1 + tan t = sec t4、分部积分法Judv = uv — Jvdu第五讲定积分1、定积分定义b af (x)dx=归送 f G 工x如果f(x)在a,b 】上连续，则f(x)在a,b ］上一定可积。

理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为 面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。