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专升本高数知识点汇总

第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像,尤其是图像包含了函数的所有信息。

2、函数的性质,奇偶性、有界性奇函数:,图像关于原点对称。

偶函数:,图像关于y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量,则(1)若,则是比高阶的无穷小量。

(2)若(不为0),则与是同阶无穷小量特别地,若,则与是等价无穷小量(3)若,则与是低阶无穷小量记忆方法:看谁趋向于0的速度快,谁就趋向于0的本领高。

4、两个重要极限(1)使用方法:拼凑,一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致(2)使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不满足条件得拼凑。

)()(x f x f )()(x f x f βα,0βαlim αβc βαlimαβ1βαlimαββαlimαβ1x x xx xxsin limsin limsinlimsinlimex xxx xx1111)(lim lim e101)(lim5、的最高次幂是n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂,谁的次幂高,谁的头大,趋向于无穷大的速度快。

,以相同的比例趋向于无穷大;,分母以更快的速度趋向于无穷大;,分子以更快的速度趋向于无穷大。

7、左右极限左极限:右极限:注:此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。

8、连续、间断连续的定义:或间断:使得连续定义无法成立的三种情况记忆方法:1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在,但不相等9、间断点类型(1)、第二类间断点:、至少有一个不存在(2)、第一类间断点:、都存在注:在应用时,先判断是不是“第二类间断点”,左右只要有一个不存在,就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点;左右相等是“可去”,左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质mnm nm n b a XQ x P m n x,,,lim000xP n xQ m m n m n m n A x f x x)(lim 0Ax f xx)(lim 0Ax f x f A x f x xx xxx )(lim )(lim )(lim 0充分必要条件是)()(lim lim00x f x x f yx x)()(lim00x f x f x x)()(lim 00x f x f xx )()(lim )(lim )()(0000x f x f x f x f x f xx xx 不存在无意义不存在,)(lim 0x f x x )(lim 0x f xx )(lim 0x f x x)(lim 0x f x x)(lim )(lim )(lim )(lim 0x f x f x f x f xx xx xx xx 跳跃间断点:可去间断点:(1)最值定理:如果在上连续,则在上必有最大值最小值。

(2)零点定理:如果在上连续,且,则在内至少存在一点,使得第三讲中值定理及导数的应用1、罗尔定理如果函数满足:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间(a,b )内可导;(3),则在(a,b)内至少存在一点,使得记忆方法:脑海里记着一幅图:2、拉格朗日定理如果满足(1)在闭区间上连续(2)在开区间(a,b )内可导;则在(a,b)内至少存在一点,使得脑海里记着一幅图:(*)推论 1 :如果函数在闭区间上连续,在开区间(a,b )内可导,且,那么在内=C 恒为常数。

)(x f ba,)(x f ba,)(x f b a,0)()(b f a f )(x f ba,0)(f )(x f yb a,)()(b f a f 0)(f )(x f y ba,aba fb f f )()()(b)(x f y ba,0)(x f ),(b a )(x f ab记忆方法:只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。

(*)推论2:如果在上连续,在开区间内可导,且,那么记忆方法:两条曲线在每一点切线斜率都相等3、驻点满足的点,称为函数的驻点。

几何意义:切线斜率为0的点,过此点切线为水平线4、极值的概念设在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点x,有,则称为函数的极大值,称为极大值点。

设在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点x,有,则称为函数的极小值,称为极小值点。

记忆方法:在图像上,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。

5、拐点的概念连续曲线上,凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点,称为曲线的拐点。

注在原点即是拐点6、单调性的判定定理设在内可导,如果,则在内单调增加;如果,则在内单调减少。

记忆方法:在图像上凡是和右手向上趋势吻合的,是单调增加,;在图像上凡是和左手向上趋势吻合的,是单调减少,;7、取得极值的必要条件可导函数在点处取得极值的必要条件是8、取得极值的充分条件)(),(x g x f b a,),(b a ),(),()(b a x x g x f cx g x f )()(0)(x f )(x f )(x f 0x )()(0x f x f )(0x f )(x f 0x )(x f 0x )()(0x f x f )(0x f )(x f 0x 3xy )(x f ),(b a 0)(x f )(x f ),(b a 0)(x f )(x f ),(b a 0)(x f 0)(x f )(x f 0x 0)(0x f第一充分条件:设在点的某空心邻域内可导,且在处连续,则(1)如果时,; ,那么在处取得极大值;(2)如果时,;,那么在处取得极小值;(3)如果在点的两侧,同号,那么在处没有取得极值;记忆方法:在脑海里只需记三副图,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。

第二充分条件:设函数在点的某邻域内具有一阶、二阶导数,且,则(1)如果,那么在处取得极大值;(2)如果,那么在处取得极小值9、凹凸性的判定设函数在内具有二阶导数,(1)如果,那么曲线在内凹的;(2)如果,那么在内凸的。

图像表现:凹的表现凸的表现10、渐近线的概念曲线在伸向无穷远处时,能够逐步逼近的直线,称为曲线的渐近线。

(1)水平渐近线:若,则有水平渐近线(2) 垂直渐近线:若存在点,,则有垂直渐近线)(x f 0x )(x f 0x 0x x 0)(x f 0)(0x f x x 时,)(x f 0x )(0x f 0x x0)(x f0)(0x f x x时,)(x f 0x )(0x f 0x )(x f )(x f 0x )(x f 0x 0)(0x f 0)(0x f 0)(0x f )(x f 0x )(0x f 0)(0x f )(x f 0x )(0x f )(x f ),(b a ),(,0)(b a x x f )(x f ),(b a ),(,0)(b a xx f )(x f ),(b a )(x f A x f x)(lim )(x f yAy 0x )(lim x f x)(x f y 0x x(2)求斜渐近线:若,则为其斜渐近线。

11、罗比达法则遇到“”、“”,就分子分母分别求导,直至求出极限。

如果遇到幂指函数,需用把函数变成“”、“”。

第二讲导数与微分1、导数的定义(1)、(2)、(3)、注:使用时务必保证后面和分母保持一致,不一致就拼凑。

2、导数几何意义:在处切线斜率法线表示垂直于切线,法线斜率与乘积为—13、导数的公式,记忆的时候不仅要从左到右记忆,还要从右到左记忆。

4、求导方法总结b ax x f a xx f xx)(lim ,)(lim b ax y 00)(ln )(x f ex f 000)()(lim lim )(0000x f x x f y x f x x h x f h x f x f h )()(lim )(000000)()(lim )(0x xx f x f x f xx 0x )(0x f 0x x)(0x f(1)、导数的四则运算法则(2)、复合函数求导:是由与复合而成,则(3)、隐函数求导对于,遇到y ,把y 当成中间变量u ,然后利用复合函数求导方法。

(4)、参数方程求导设确定一可导函数,则(5) 、对数求导法先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导(6)、幂指函数求导幂指函数,利用公式然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。

第二种方法可使用对数求导法,先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导注:优选选择第二种方法。

5、高阶导数对函数多次求导,直至求出。

v u v u uvvuv u )(2vuv v u vuxfy)(u f y )(x u dxdu dudy dxdy 0),(y x F )()(t yt x)(x f y )()(t t dtdx dt dydxdydtdx dt dx dyd dxdx dyd dxy d )()(22)()(x v x u y aea ln )(ln )()(ln )(x u x v x u eey x v )(x f6、微分记忆方法:微分公式本质上就是求导公式,后面加,不需要单独记忆。

7、可微、可导、连续之间的关系可微可导可导连续,但连续不一定可导8、可导与连续的区别。

脑海里记忆两幅图(1)(2)在x=0既连续又可导。

在x=0只连续但不可导。

所以可导比连续的要求更高。

第四讲不定积分一、原函数与不定积分1、原函数:若,则为的一个原函数;2、不定积分:的所有原函数+C 叫做的不定积分,记作二、不定积分公式记忆方法:求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、2、注:求导与求不定积分互为逆运算。

四、积分方法1、基本积分公式2、第一换元积分法(凑微分法)把求导公式反着看就是凑微分的方法,所以不需要单独记忆。

3、第二换元积分法dxy dy dx 2xy x y )()(x f x F )(x F )(x f )(x f )(x F )(x f Cx F dx x f )()(dxx f dx x f d x f dx x f )()()()(或cx f dxx f )()(bax t b ax 令,三角代换三角代换主要使用两个三角公式:4、分部积分法第五讲定积分1、定积分定义如果在上连续,则在上一定可积。

理解:既然在闭区间上连续,那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形,面积存在所以一定可积,因为面积是常数,所以定积分如果可积也是常数。

2、定积分的几何意义(1)如果在上连续,且,则表示由,x轴所围成的曲边梯形的面积。

S=。

(2)如果在上连续,且,S=。

3、定积分的性质:(1)(2)=(3)(4)(5)如果,则(6)设m,M 分别是在的min, max,则Mta xaxt a x a x t a x x atan sec sin 222222令令令tttt2222sec tan 1,1cos sin vduuv udv ni ii x b ax f dxx f 1)(lim )()(x f ba,)(x f ba,)(x f ba,0)(x f b adx x f )()(x f ,,b x a xbadx x f )()(x f ba,0)(x f badx x f )(badx x kf )(b adxx f k )(badx x g x f )()(b adxx f )(b adxx g )(c ab cb a dx x g dxx f dx x f )()()(a ba ab adxx f dxx f a bdx)(0)(1b adxx f )()()(x g x f b a b adxx g dx x f )()()(x f ba,)()()(a b M dx x f a b m b am记忆:小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积(7)积分中值定理如果在上连续,则至少存在一点,使得记忆:总可以找到一个适当的位置,把凸出来的部分切下,剁成粉末,填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。

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