天一专升本高数知识点 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】第一讲 函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。

2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。

偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若0=βαlim ，则α是比β高阶的无穷小量。

（2）若c βα=lim（不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=βαlim，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=βαlim，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。

4、两个重要极限 （1）100==→→xxx x x x sin lim sin lim使用方法：拼凑[][][][][][]000==→→sin lim sin lim，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致（2）e x x x x xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→10111)(lim lim使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、()() ⎝⎛>∞<==∞→m n m n m n ba X Q x P mn x ,,,lim00()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。

m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。

7、左右极限左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。

8、连续、间断连续的定义： []0)()(lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x或)()(lim 00x f x f x x =→间断：使得连续定义)()(lim 00x f x f x x =→无法成立的三种情况记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型（1）、第二类间断点：)(lim 0x f x x -→、)(lim 0x f x x +→至少有一个不存在（2）、第一类间断点：)(lim 0x f x x -→、)(lim 0x f x x +→都存在注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质（1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。

（2） ξ零点定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，且0)()(<⋅b f a f ，则)(x f 在()b a ,内至少存在一点ξ，使得0)(=ξf1、罗尔定理如果函数y ]b 上连续；（2）在开区间（a,b ）内可导；（3）()(f a f =0)(='ξf2、拉格朗日定理如果)(x f y =满足（1 （2 则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ（*）推论1 []b a ,上连续，在开区间（a,b ）内可导，且0)(≡'x f记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。

（*）推论2：如果)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，在开区间),(b a 内可导，且),(),()(b a x x g x f ∈'≡'，那么c x g x f +=)()(记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等 3、驻点满足0)(='x f 的点，称为函数)(x f 的驻点。

几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线 4、极值的概念设)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有)()(0x f x f <，则称)(0x f 为函数)(x f 的极大值，0x 称为极大值点。

设)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有)()(0x f x f >，则称)(0x f 为函数)(x f 的极小值，0x 称为极小值点。

记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。

5、拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。

注3x y =是拐点6、单调性的判定定理设)(x f 在),(b a 内可导，如果)(>'x f ),b 内单调增加； 如果0)(<'x f ，则)(x f 在),(b a 内单调减少。

记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，0)(>'x f ；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，0)(<'x f ；7、取得极值的必要条件可导函数)(x f 在点0x 处取得极值的必要条件是0)(0='x f 8、取得极值的充分条件 第一充分条件：设)(x f 在点0x 的某空心邻域内可导，且)(x f 在0x 处连续，则（1） 如果0x x <时，0)(>'x f ; 0)(0<'>x f x x 时，,那么)(x f 在0x 处取得极大值)(0x f ； （2） 如果0x x <时，0)(<'x f ；0)(0>'>x f x x 时，，那么)(x f 在0x 处取得极小值)(0x f ；（3） 如果在点0x 的两侧，)(x f '同号，那么)(x f 在0x 处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。

第二充分条件：设函数)(x f 在点0x 的某邻域内具有一阶、二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f 则 （1）如果0)(0<''x f ，那么)(x f 在0x 处取得极大值)(0x f ； （2）如果0)(0>''x f ，那么)(x f 在0x 处取得极小值)(0x f 9、凹凸性的判定设函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，（1）如果),(,0)(b a x x f ∈>''，那么曲线)(x f 在),(b a 内凹的；（2）如果),(,0)(b a x x f ∈<''，那么)(x f 在),(b a 内凸的。

10、 渐近线的概念曲线)(x f 在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。

（1） 水平渐近线：若A x f x =∞→)(lim ,则)(x f y =有水平渐近线A y =(2) 垂直渐近线：若存在点0x ，∞=∞→)(lim x f x ，则)(x f y =有垂直渐近线0x x =（2） 求斜渐近线：若[]b ax x f a xx f x x =-=∞→∞→)(lim ,)(lim ，则b ax y +=为其斜渐近线。

11、 洛必达法则 遇到“00” 、“∞∞”，就分子分母分别求导，直至求出极限。

如果遇到幂指函数，需用)(ln )(x f ex f =把函数变成“00” 、“∞∞”。

第二讲 导数与微分1、导数的定义（1）、[]0)()(lim lim )(0000=-∆+=∆='→∆→∆x f x x f y x f x x（2）、h x f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→（3）、000)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→注：使用时务必保证0x 后面和分母保持一致，不一致就拼凑。

2、导数几何意义：)(0x f '在0x x =处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与)(0x f '乘积为—13、导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。

4、求导方法总结（1）、导数的四则运算法则 （2）、复合函数求导：()[]x f y ϑ=是由)(u f y =与)(x u ϑ=复合而成，则 （3）、隐函数求导对于0),(=y x F ，遇到y ，把y 当成中间变量u ，然后利用复合函数求导方法。

（4）、参数方程求导设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϑ确定一可导函数)(x f y =，则)()(t t dtdx dt dydx dy ψϑ''== (5) 、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 （6）、幂指函数求导 幂指函数)()(x v x u y =，利用公式aea ln =)(ln )()(ln )(x u x v x u eey x v ⋅==然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。

第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导注：优选选择第二种方法。

5、高阶导数对函数)(x f 多次求导，直至求出。

6、微分记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加dx ，不需要单独记忆。

7、可微、可导、连续之间的关系 可微⇔可导可导⇒连续，但连续不一定可导 8、可导与连续的区别。

脑海里记忆两幅图（1） （2）2x y =在x=0既连续又可导。

x y =在x=0只连续但不可导。

所以可导比连续的要求更高。

第四讲 不定积分一、 原函数与不定积分1、原函数：若)()(x f x F ='，则)(x F 为)(x f 的一个原函数；2、不定积分：)(x f 的所有原函数)(x F +C 叫做)(x f 的不定积分，记作C x F dx x f +=⎰)()(二、 不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式 三、不定积分的重要性质1、[]⎰⎰=='dx x f dx x f d x f dx x f )()()()(或2、⎰+='c x f dx x f )()(注：求导与求不定积分互为逆运算。

四、 积分方法1、基本积分公式2、第一换元积分法（凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。

3、第二换元积分法三角代换⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-ta x a x t a x ax t a x x a tan sec sin 222222令令令 三角代换主要使用两个三角公式：t t t t 2222sec tan 1,1cos sin =+=+4、分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv 第五讲 定积分 1、定积分定义 ∑⎰=→∆∆=ni iix ba xf dx x f 1)(lim)(ξ如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上一定可积。