几种分式型递推数列的通项求法
李云皓
(湖北省宜昌市夷陵中学，湖北宜昌 443000)
1.1 引言
数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。

数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。

本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。

2.1 基本概念
设数列的首项为，且
其中为常数，同时，我们称这个递推公式为
分式递推式，而数列称为由分式递推式给定的数列。

显然，该数列的递推式也可写成
2.2 递推式的特征方程与特征根
我们先来看一个引例：
首项为，由递推式给定的数列的通项公式我们是会求的：
即
为常系数等比差数列（由递推式给定的数列，其中为常数），
该数列的通项是熟知的，为
于是考虑能不能变型后让②中的没有，即让①中的没有。

我们可以利用
递推式的特征方程来解决这个问题。

下面给出特征方程推导过程：
数列的递推式为
两边同时减去得
通分后得
令
即
方程③保留了原递推式的特征，故称为该递推式的特征方程，为特征根。

3.1 例题（第一部分）
下面我们通过几个例题来说明特征方程的应用。

两式相除得
故当方程③有两不等实根时，可用此方法求出通项公式。

两边同乘3得
两边取倒数
故当方程③有两相等实根时，也可用此方法求出通项公式。

两式相除得
由此，当方程③有两虚数根时，用此方法求通项公式也是正确的。

3.2 例题（第二部分）
下面我们来看另一类型的分式递推式。

还要两边再取倒数还原，请读者自己完成化简
令
令
下面的递推请读者自己完成
4.1 练习。