如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利 用Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循 的随机过程： 2
dG (
这个随机过程的特征： 普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方 差率。 在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从 正态分布，均值为 ( 2 ) ，方差 2 为 (T t) 。标准差仍然可以表示为 ， 和时间长度平方根成正比。 T－t
§1 期权的基本概念
按期权买者执行期权的时限划分，期 权可分为欧式期权和美式期权。 欧式期权：只能在期权到期日执行； 美式期权：可以在有到期日和到期日 之前的任何时间执行； 修正的美式期权（百慕大期权或大西 洋期权）：可以在期权到期日之前的 一系列规定日期执行。
§1 期权的基本概念
按照期权合约的标的资产划分，金 融期权合约可分为利率期权、货币 期权（或称外汇期权）、股价指数 期权、股票期权以及金融期货期权。
§1 期权的基本概念
（三）期权的基本要素： 1、这种期权能够买（对于看涨期权而言）或者卖 （对于看跌期权而言）的对象，或者说，合约是 关于哪种资产的合约，我们称这种资产为标的物 (underlying asset)。 以股票为标的物的期权，每份期权通常包括 100份特定的股票。例如，持有一份以IBM公司 股票为标的物的看涨期权，是一份可以买100 份IBM公司股票的权利。
模型基本假设
无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市 场 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均 为无风险利率 股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的 标的股票 对卖空没有任何限制 标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运 动
为什么研究证券价格变化的过程
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源 就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资 产价格的影响。因此期权定价使用的是相对定价 法，即相对于证券价格的价格，因而要为期权定 价首先必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资 产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在 现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其 所遵循的随机过程。 研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在 特定时刻，变量取值的概率分布情况。
§1 期权的基本概念
（四）期权的特征
1、权利和义务的不对称性
期权的买者有权利无义务，到期日可选择执行 或不执行期权，卖方有配合买方执行期权的义 务。 作为给期权卖者承担义务的报酬，期权买者要 支付给期权卖者一定的费用，称为期权费 （Premium）或期权价格（Option Price）。 期权费视期权种类、期限、标的资产价格的易 变程度不同而不同。
2
2
)dt dz
G ~ [( 2 )(T t ), T t ]
2
两个重要结论（1）
标的资产价格
看跌期权的损益
对于欧式看跌期权而言，上述结果正好 反过来。假设一种看跌期权，它以某种 股票为标的物，该股票在时间t 的价格 以 St 表示，期权的执行价格为 K ，到期 日为 T，期权在时间 t 的价格为 p
看跌期权的损益
看跌期权的买方：
y max 0, K ST p K ST p
S 但是，在一个较长的时间T后， 不再具有 S
正态分布的性质：
多期收益率的乘积问题 因此，尽管σ 是短期内股票价格百分比收益率的 标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。股票价格的年波动率 并不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准 差。
几何布朗运动的深入分析（3）
影响期权价格的因素
执行价格：在标的资产到期日价格相同的 条件下，执行价格越高，买入期权的价格 越低；卖出期权的价格越高。 标的资产价格：标的资产的市场价格越高， 买入期权的价格越高；卖出期权的价格越 低。 现金股利的影响：当期权不受现金股利保 护时，公司发放现金股利将降低股票买入 期权的价值，提高股票卖出期权的价值。
§1 期权的基本概念
2、执行价格
这个价格是执行期权合约时，可以 以此价格购买标的物的价格。对于 以IBM公司股票为标的物的看涨期权， 如果执行价格为150美元，则在执行 这种期权时，按每份股票150美元购 买。
§1 期权的基本概念
3、期权有效的时间区间由到期日来确定。 时间区间可以是一天、一个星期、或者一年。以 IBM公司股票为标的物的看涨期权，如果到期日 为六个月，则在这六个月里，权利都是有效的。 4、期权应该包括是否可以在到期日之前执行这种 权利。 如果在到期日之前的任何时间以及到期日都能执 行，我们称这种期权为美式期权。如果只能在到 期日执行，称为欧式期权。
期权定价方法
克服困难不确定性, 以便采用无套 利原理对期权进行定价: 二项式定价方法， 布莱克—舒尔斯定价方法, 蒙特卡罗模拟法。
影响期权价格的因素
距到期日的时间：距到期日的时间越长， 美式期权的价格越高，因为期权价格发生 有利于买方的机会越多。 标的资产价格的稳定性：标的资产的价格 波动越大，越不稳定，期权的价格越高。 市场利率：市场利率越高，买入期权未来 支付执行价的现值越低，其价值越高；卖 出期权未来执行时得到的收入的现值越低， 其价值也越低；
几何布朗运动的深入分析（1）
在很短的时间Δ t后，证券价格比率的变化值
S t S t
S S
为：
S 可见，在短时间内， S 具有正态分布特征
S ~ ( t , t ) S 其均值为 t ，标准差为 t ，方差为 2 t 。
几何布朗运动的深入分析（2）
§3 B-S公式的初步认识
本章的主要目的：如何确定以金融证券为标的物的 欧式期权的价格。 研究思路：价格是收益的现值 不考虑期权的价格，欧式看涨期权的收益：
SN K
其中

布
定价的公式。
§4 金融中的一些重要参数
§4 金融中的一些重要参数
§4 金融中的一些重要参数
期权是一种金融衍生工具。
§1 期权的基本概念
（二）期权合约的种类 按期权买者的权利划分，期权可分为看涨期权 （Call Option）和看跌期权（Put Option）。 看涨（认购）期权：到期日时买方有购买的 权利，卖方有出售的义务。交易者之所以买入看 涨期权，是因为他预期标的资产的价格会在合约 期限内上涨，如果判断正确，按协定价买入标的 资产并以市价卖出，就可以赚取其差额。 看跌（认沽）期权：到期日时买方有出售的 权利，卖方有购买的义务。
§4 金融中的一些重要参数
§4 金融中的一些重要参数
§5 期权定价的连续模型
Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖 模型基本假设8个
无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。 标的股票不支付红利 期权为欧式期权
期权卖方（期权的写者）：
y
( K c) S , S K c, S K

0, ST K c ST K y c max
期权的基本收益形式
看涨期权的买方 收益
S---标的资产价格；
K
K---执行价格；
-C
C---看涨期权价格。
看涨期权的卖方
收益
C
K
§1 期权的基本概念
2、损失有限特性
例1、A公司股票当前股价是40元，对 于三月到期的看涨期权，如果目前市 场价格是4元，则购买股票和股票期权 的损益如下表：
到期时 买进股票投资为40元 买进看涨期权投资为4元 的股价/元 利润 利润 利润率/% 利润率/%
30 35 40 45 50 55 60

看跌期权的卖方：
y p max 0, K ST p K ST

看跌期权的买方Hale Waihona Puke K-P收益K
标的资产价格
S---标的资产价格； K---执行价格；
-P
不考虑期权价格
R=K-S,S<K R=0, S>K
P---看跌期权价格。
看跌期权的卖方
收益
P
K
标的资产价格
-(K-P)
-10 -5 0 5
10 15 20
-25
-4 -4 -4 1
6 11 16
-12.5 0
12.5 25 37.5 50
-100 -100
-100
25 150 275 400
§1 期权的基本概念
3、杠杆性 购入买入期权：设某股票S＝38，K＝40。C＝4。 t＝3个月。则购入一份期权合约的支出是400。如果期 权有效期内股票价格始终小于40，买入者亏损400；如 果股票价格大于40，买入者开始收回投资，如果股票 价格大于44，买入者开始盈利。 如果股票价格升至48元，买入者盈利400元。而 如果投资者直接买入股票，400元只能购入10.5股股票， 每股获利10元，总计获利105元。另一方面，如果股票 价格仅升至41元，规模股票可盈利31.5元，而购买买 入期权则会发生亏损。 二者的差距反映了期权的杠杆效应。
第六章 期权定价公式
§1 期权的基本概念
§2 期权的损益
§3 B-S公式的初步认识 §4 金融中的一些重要参数 §5 期权定价的连续模型 §6 期权定价的离散模型 §7 B-S公式的统计分析
§1 期权的基本概念
（一）期权合约的定义 期权是指合约买方（期权的买者）向卖 方（期权的写者）支付一定的费用（称为 “期权费”或“期权价格”），买方在规 定期限内（或约定日期）按事先约定的价 格或执行价格向合约卖方购买或出售一定 数量某种产品（或标的资产）的权利的契 约。
证券价格的变化过程
目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量 准确地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现 数学处理上的简单性。 基本假设：证券价格所遵循的随机过程：