tnS，那tn D么n，D在nX最e后Xre一T次rTtn分tn红 前，S夕即执tn行 期X权不是最优方
6. 如D果n X 1 erT tn ，可以证明，在股价充分高的情况下，执行期
权是最优方案 Dn X
1 erT tn
S t, t
S
3. 约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时期望收益率
11
BSM随机微分方程——假设
1. 股价过程为Ito过程 2. 卖空无限制 3. 没有交易成本、税收，证券是无限可分的 4. 衍生工具在到期之前不产生红利 5. 不存在套利机会 6. 证券可以连续交易 7. 所有期限的无风险利率同为常数
dG


G S
S

G t

1 2
2G S 2

2S2
dt

G S

Sdz
9
股价过程——对数正态分布
1. 股价对数过程， G ln S
dG d ln S S 2 2 dt dz
ln ST S0 2 2 T , T ln ST ln S0 2 2 T , T
依赖于股价过去的路径
股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜 市场 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性
3
Wiener过程(布朗运动)——定义
1. 瞬时增量为 z
增量的均值等于0 增量的标准差等于
t t
2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程
第六章
期权定价
教学内容
1. 股价过程 2. BSM随机微分方程 3. 风险中性定价 4. B-S期权定价公式 5. 标的资产支付连续红利情况下的期权定价 6. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
2
马尔科夫过程(Markov process)
1. 无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关 2. 如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时刻的概率分布不
股票远期的价格满足BSM方程
f S KerT t
f t
rKerT t , f S

1,
2 f S 2
0
f t
rS f S

1
2
2S2
2 f S 2
rKerT t rS rf
16
BSM随机微分方程
1. BSM的任何解
4
Wiener过程(布朗运动)——基本性质
1. Wiener过程(长时间段内)的增量
N
z T z 0 i t i 1
N T t
增量的均值等于0
增量的标准差等于
T
2. 在任意时间段内的期望路径长度为无穷大
3. 在任意时间段内，z取某一给定值的期望次数等于无穷大
2. 称股价呈对数正态分布
E ST S0eT
var ST

S02e 2T

e
2T
1
10
股价过程——收益率分布
1. 股票收益率(长时间尺度)
ST S0eT
或者， 1 ln ST
T S0





2
2
,
T
2. 与瞬时期望收益率的差异
2. 该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式——Black-Scholes 欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用， 更重要的是，它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法
3. M. Scholes主要因为这一工作与R. Merton一道荣膺了1997年的诺 贝尔经济学奖
1. 分红前夕： 0 t1 t2 tn T
2. 相应的分红数量：
Di 0, i 1, 2 n
3. 如果在最后一次分红前夕执行期权，投资者得到的价值为
4. 如果在最S 后t一n 次分X红前夕不执行期权，那么，期权的下界告诉我们，
5. 所‘C以，如c果 S
案
18
风险中性定价——应用于股票远期
1. 边界条件： fT ST K
2. 根据风险中性定价原则，
f erT t E ST K erT t E ST erT t K
erT terT t S erT t K
S erT t K
f 都S是, t某 种可以交易的衍生工具的理论价格，
并且它的交易不会导致套利机会
2. 如果 f S不, t满 足BSM方程，它是某种衍生工具的价格，那么该衍
生工具的交易必然导致套利机会
17
风险中性定价(risk-neutral valuation)
1. Black-Scholes-Merton方程不包含股票收益率，说明衍生工具的价 值与投资者的风险偏好无关。因此，在定价衍生工具时，可以采用任 何风险偏好，特别地，可以假设投资者是风险中性的
2. Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下，
dG


G x
a

G t

1 2
2G x 2
b2

dt

G x
bdz
因此，G也是Ito过程
7
Ito引理——应用于股票远期价格
1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为
F0 S0e rT
F Se rT t
2. 如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由于股票期权没有分红 的保护，因此不能直接利用B-S期权定价公式确定欧式期权的价值。 解决这个问题的办法是：用股票的市场价格减去股票在期权到期日之 前分配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，从而得到欧式期权 的价值
23
美式买权的执行问题——股票分红
12
BSM随机微分方程——推导
1. f表示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数
dS Sdt Sdz
df


f S

S

f t

1 2
2 f S 2

2S2
dt

f S

Sdz
2. 离散形式
S St Sz
f


20
BS期权定价公式
f erT t E ST K
c S0 N (d1 ) Xe rT N (d2 )
p Xe rT N (d2 ) S0 N (d1 )
d1

ln S0
X

r 2 2
T
T
d2

ln S0
24
美式买权的执行问题——股票分红
1. 一般地，如果 是最优方案
Di X 1 e，r那ti1 么ti 在第I次分红前夕执行期权不
2. 总结
美式买权如果提前执行，通常发生在最后一次分红的前夕
如果
行不是最优D方i 案X
1 e r对ti1i=ti 1,2…n (
2. 运用Ito引理，得到，
dF r Fdt Fdz
8
股价过程
1. 股价过程：几何布朗运动
dS Sdt S，dz dS dt dz
S ：单位时间内股价的期望收益率(瞬时)
：股价的波动率
S t, . t
S
2. S为股价过程，则
c S0e qT N (d1 ) Xe rT N (d2 ) p Xe rT N (d2 ) S0e qT N (d1 )
d1

ln
S0
X


r q T

3. 他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没有得到审稿意见的情
况下遭到拒绝 4. 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑打了招呼以后，
JPE才最终发表了这篇论文 5. 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
22
BS期权定价公式——离散红利
1. 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股票的市场价格、期 权执行价格、期权距离到期的时间、无风险利率以及标的股票的波动 率
t


r


f

f S
S

t
f t

rS
f S

1
2
2S2
2 f S 2
rf
6. 股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现在边界条件上
欧式买权：当t=T时， 欧式卖权：当t=T时，
f max S X f max X S
15
BSM随机微分方程——应用于股票远期
X

r 2 2
T
T
d1
T
21
欧式期权定价——轶事
1. 巧合的是，国际上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所于1973 年4月底挂牌营业，略早于B-S公式的正式发表（5-6月号）
2. 两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝，而且没有得到审 稿意见。拒绝的理由：
金融太多，经济学太少
在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无风险利率
2. 风险中性定价的一般程序
假设标的资产的期望收益率等于无风险利率 计算衍生工具在到期日的期望支付(payoff) 把期望支付按无风险利率贴现
3. 风险中性定价是求解BSM方程的一种人造方法，用该方法求得的解 适用于任何投资者(不仅限于风险中性的投资者)
5
广义Wiener过程
1. x是广义Wiener过程，如果