固体物理中关于能带理论的认识
摘要:本文运用能带理论就晶体中的电子行为作一些讨论,以期对能带理论的
概念更细致的把握。

关键词:能带理论电子共有化绝热近似平均场近似周期场假定
引言
能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。

它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,即是单电子近似的理论，对于晶体中的价电子而言,等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用,是一种晶体周期性的势场。

能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子,并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。

1 能带理论的假定
能带理论是目前的固体电子理论中最重要的理论。

量子自由电子理论可作为一种零级近似而归入能带理论。

能带理论是一个近似理论,下面对该理论所作的假定作为一探讨。

实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。

如果不采用一些简化近似,从理论上研究固体的能级和波函数是极为困难的。

1.1 绝热近似
考虑到电子与核的质量相差悬殊。

可以把核与电子的运动分开考虑,相当于忽略了电子——声子相互作用。

电子运动时,可以认为核是不动的。

电子是在固体不动的原子核产生的势场中运动。

1.2 平均场近似
因为所有电子的运动是关联的。

可用一种平均场来代替价电子之间的相互作用，即假定每个电子所处的势场都相同。

使每个电子的电子间相互作用能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关，在上述近似下，每个电子都处在同样的势场中运动，既所有电子都满足同样的薛定谔方程，只要解得方程，就可得晶体电子体系的电子状态和能量。

使多电子问题简化为一个单电子问题，所以上述近似也称单电子近似。

1.3 周期场假定
薛定谔方程中势能项是原子实对电子的势能，具有与晶格相同的周期性。

代表一种平均势能，应是恒量。

因此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化为在晶格周期势场的单电子定态问题，上述在单电子近似基础上的固体电子理论称能带论。

2 电子的共有化运动
我们知道,由于原子核对电子的静电引力, 使得电子只能围绕原子核在一定
的轨道上运动。

由于电子在空间运动的范围受到限制,电子在能量上就呈现出不连续的状态, 电子的能量只能取彼此分立的一系列可能值——能级。

晶体是由大量的原子在空间有规则地周期性地排列而成的。

相邻原子间距只有几个埃的能量级,例如,硅的原子间距为4.2埃。

因此,晶体中的原子状态和孤立原子中的电子状态不同,特别是外层电子的状态会有显著的变化。

原子中的电子分列在内外层电子轨道上,每一层轨道对应于确定的能量。

当原子间相互接近形成晶体时,不同原子的内外层个电子轨道之间就有一定的交迭,相邻原子最外层轨道上交迭最多,内层轨道交迭较少。

当原子组成晶体后, 由于电子轨道间的交迭,电子不再完全局限于某一个原子中,他可以由一个原子转移到相邻的原子上去,而且可以从相邻的原子再转移到更远的原子上去,以致任何一个电子可以在整个晶体中从一个原子转移到另一个原子,而不再专属于哪一个原子所有, 这就是晶体中电子共有化运动。

应该注意到,不同原子的相似轨道才有相近的能量,电子只能在相似轨道上进行转移。

因此,产生共有化运动是由于不同原子的相似轨道间的交迭而引起的。

每一个原子能级结合成晶体后,引起“与之相应”的共有化运动。

例如,3s轨道引起“3s”的共有化运动,2p轨道引起“2p”的共有化运动。

从共有化运动来看,当电子“经过”每一个原子时,他的运动仍接近于原来的原子轨道(3s或2p)上的运动，从原子运动的观点看,共有化运动就是电子由一个轨道转移到另一个相似的轨道,如下图所示。

3 能带的一般解释
晶体中电子共有化运动引起了能级的分裂,我们以最外层的价电子为例来说明。

假如晶体中包含N个原子(N约为1022数量级),原子最外层的价电子是一个，它的能量级为En,当这些原子相距很远时,每个原子的价电子的能级都是En,所以是互不相关的能级。

但是,当N个原子组成晶体后每个价电子的运动都受到其它原子核的影响,它们的能级也会发生变化。

根据泡利不相容原理,一块晶体中的电子运动状态不能相同。

为了容纳原来属于N个单个原子的所有价电子,原来分属于N 个单个原子的相同的价电子能级就必须分裂成属于整个晶体的N个能量稍有差别的能级。

这些能级相互靠得很近,分布在一定的能量区域,通常把这N个相互靠得很近的能级所占据的能量区域称为能带,如下图所示。

在原子结合成晶体时,如果内层电子的轨道也有交迭,则价电子能级分裂成价电子能带的同时,其内层电子的能级也要分裂。

根据同样道理,能量比价电子能级更高的激发态能级也要分裂,形成激发态能级。

在两个能带之间的区域中,不存在电子的能量,因此这个能量区域中也不可能有电子,这与单个原子两能级之间的能量区域中不可能有电子一样。

我们称这两个能带之间的区域为“禁带”。

每个能带和禁带的宽度是由各种晶体的具体原子结构和晶体结构决定的。

一般约为零点几到几个电子伏特。

总结
从以上分析可知,能带理论是研究晶体中电子运动规律的一种近似理论。

晶体由原子组成, 原子又包括原子核和最外层电子,它们均处于不断的运动状态。

为使问题简化,首先假定晶体中的原子核固定不动,并按一定规律作周期性排列,然后进一步认为每个电子都是在固定的原子核周期势场及其他电子的平均势场中运动,这就把整个问题简化成单电子问题。

能带理论是现代晶体电子技术的理论基础,对于微电子技术的发展起了无可估量的作用。

而且是说明晶体性质最重要的基础理论。

它的出现是量子力学,量子统计理论在固体中最直接最重要的应用。