2019年山东省日照市中考数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,满分36分,在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.(3分)2的倒数是( ) A .2-B .12C .12-D .22.(3分)近几年我国国产汽车行业蓬勃发展,下列汽车标识中,是中心对称图形的是()A .B .C .D .3.(3分)在实数38,3π,12,43中有理数有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个4.(3分)下列事件中,是必然事件的是( ) A .掷一次骰子,向上一面的点数是6B .13个同学参加一个聚会,他们中至少有两个同学的生日在同一个月C .射击运动员射击一次,命中靶心D .经过有交通信号灯的路口,遇到红灯5.(3分)如图,该几何体是由4个大小相同的正方体组成,它的俯视图是( )A .B .C .D .6.(3分)如图,将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,当135∠=︒时,2∠的度数为( )A .35︒B .45︒C .55︒D .65︒7.(3分)把不等式组25322x x -⎧⎪⎨+<⎪⎩的解集在数轴上表示出来,正确的是( )A .B .C .D .8.(3分)如图,甲乙两楼相距30米,乙楼高度为36米,自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30︒,则甲楼高度为( )A .11米B .(36153)-米C .153米D .(36103)-米9.(3分)在同一平面直角坐标系中,函数1(0)y kx k =+≠和(0)ky k x=≠的图象大致是()A .B .C .D .10.(3分)某省加快新旧动能转换,促进企业创新发展.某企业一月份的营业额是1000万元,月平均增长率相同,第一季度的总营业额是3990万元.若设月平均增长率是x ,那么可列出的方程是( ) A .21000(1)3990x +=B .210001000(1)1000(1)3990x x ++++=C .1000(12)3990x +=D .10001000(1)1000(12)3990x x ++++=11.(3分)如图,是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分,下列结论中:①0abc >;②0a b c -+<;③210ax bx c +++=有两个相等的实数根;④42a b a -<<-.其中正确结论的序号为( )A .①②B .①③C .②③D .①④12.(3分)如图,在单位为1的方格纸上,△123A A A ,△345A A A ,△567A A A ,⋯,都是斜边在x 轴上,斜边长分别为2,4,6,⋯的等直角三角形,若△123A A A 的顶点坐标分别为1(2,0)A ,2(1,1)A ,3(0,0)A ,则依图中所示规律,2019A 的坐标为( )A .(1008,0)-B .(1006,0)-C .(2,504)-D .(1,505)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分,不需写出解答过程请将答案直接写在答题卡相应位置上13.(4分)已知一组数据8,3,m ,2的众数为3,则这组数据的平均数是 . 14.(4分)如图,已知8AB cm =,3BD cm =,C 为AB 的中点,则线段CD 的长为 cm .15.(4分)规定:在平面直角坐标系xOy 中,如果点P 的坐标为(,)a b ,那么向量OP 可以表示为:(,)OP a b =,如果OA 与OB 互相垂直,1(OA x =,1)y ,2(OB x =,2)y ,那么12120x x y y +=.若OM 与ON 互相垂直,(sin ,1)OM α=,(2,3)ON =-,则锐角α∠= . 16.(4分)如图,已知动点A 在函数4(0)y x x=>的图象上,AB x ⊥轴于点B ,AC y ⊥轴于点C ,延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ,延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ,直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ,当4NF EM =时,图中阴影部分的面积等于 .三、解答题:本大题共6小题,满分68分。
请在答题卡指定区域内作16题图答解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.(12分)(1)计算:0201911|32|(1)()2π--++--;(2)先化简,再求值:233111a a a a ++-÷--,其中2a =; (3)解方程组:25,342x y x y -=⎧⎨+=⎩18.(10分)2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“.某校组织读书征文比赛活动,评选出一、二、三等奖若干名,并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图(不完整),请你根据图中信息解答下列问题:(1)求本次比赛获奖的总人数,并补全条形统计图; (2)求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数;(3)学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动,请用列表法或画树状图的方法,求出恰好抽到甲和乙的概率.19.(8分)“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益,某企业的产品对沿线地区实行优惠,决定在原定价基础上每件降价40元,这样按原定价需花费5000元购买的产品,现在只花费了4000元,求每件产品的实际定价是多少元?20.(12分)如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 的中点为O ,点G ,H 在对角线AC 上,AG CH =,直线GH 绕点O 逆时针旋转α角,与边AB 、CD 分别相交于点E 、F (点E 不与点A 、B 重合).(1)求证:四边形EHFG 是平行四边形;(2)若90α∠=︒,9AB =,3AD =,求AE 的长.21.(12分)探究活动一:如图1,某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时,在直线AB 上的三点(1,3)A 、(2,5)B 、(4,9)C ,有53221AB k -==-,93241AC k -==-,发现AB AC k k =,兴趣小组提出猜想:若直线(0)y kx b k =+≠上任意两点坐标1(P x ,1)y ,2(Q x ,212)()y x x ≠,则2121PQ y y k x x -=-是定值.通过多次验证和查阅资料得知,猜想成立,PQ k 是定值,并且是直线(0)y kx b k =+≠中的k ,叫做这条直线的斜率. 请你应用以上规律直接写出过(2,2)S --、(4,2)T 两点的直线ST 的斜率ST k = . 探究活动二数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题,得到正确结论:任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时,这两条直线的斜率之积是定值.如图2,直线DE 与直线DF 垂直于点D ,(2,2)D ,(1,4)E ,(4,3)F .请求出直线DE 与直线DF 的斜率之积. 综合应用如图3,M 为以点M 为圆心,MN 的长为半径的圆,(1,2)M ,(4,5)N ,请结合探究活动二的结论,求出过点N 的M 的切线的解析式.22.(14分)如图1,在平面直角坐标系中,直线55y x =-+与x 轴,y 轴分别交于A ,C 两点,抛物线2y x bx c =++经过A ,C 两点,与x 轴的另一交点为B . (1)求抛物线解析式及B 点坐标;(2)若点M 为x 轴下方抛物线上一动点,连接MA 、MB 、BC ,当点M 运动到某一位置时,四边形AMBC 面积最大,求此时点M 的坐标及四边形AMBC 的面积;(3)如图2,若P 点是半径为2的B 上一动点,连接PC 、PA ,当点P 运动到某一位置时,12PC PA +的值最小,请求出这个最小值,并说明理由.2019年山东省日照市中考数学试卷答案与解析一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,满分36分,在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.(3分)【分析】依据倒数的定义回答即可. 【解答】解:2的倒数为12. 故选:B .【点评】本题主要考查的是倒数的定义,熟练掌握倒数的定义是解题的关键. 2.(3分)【分析】把一个图形绕某一点旋转180︒,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.根据中心对称图形的概念求解. 【解答】解:A 、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;B 、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;C 、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;D 、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项符合题意.故选:D .【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 3.(3分)【分析】整数和分数统称为有理数,依此定义求解即可.【解答】3π432=43共2个. 故选:B .【点评】此题考查了有理数和无理数的定义,注意需化简后再判断. 4.(3分)【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件,即发生的概率是1的事件. 【解答】解:A .掷一次骰子,向上一面的点数是6,属于随机事件;.13B 个同学参加一个聚会,他们中至少有两个同学的生日在同一个月,属于必然事件; C .射击运动员射击一次,命中靶心,属于随机事件;D .经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,属于随机事件;故选:B.【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解,事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件,事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件,必然事件和不可能事件都是确定的.5.(3分)【分析】找到从上面看所得到的图形即可.【解答】解:从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为:2,1,并且下面一行的正方形靠左,故选:B.【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.6.(3分)【分析】先根据平行线的性质求出3∠的度数,再由余角的定义即可得出结论.【解答】解:直尺的两边互相平行,135∠=︒,335∴∠=︒.2390∠+∠=︒,255∴∠=︒.故选:C.【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,同位角相等.7.(3分)【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集,再把不等式组25322xx-⎧⎪⎨+<⎪⎩的解集在数轴上表示出来即可.【解答】解:25322xx-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②解不等式①得:3x -,解不等式②得:1x <,故不等式组的解集为:31x -<, 在数轴上表示为:故选:C .【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 8.(3分)【分析】分析题意可得:过点A 作AE BD ⊥,交BD 于点E ;可构造Rt ABE ∆,利用已知条件可求BE ;而乙楼高AC ED BD BE ==-. 【解答】解:过点A 作AE BD ⊥,交BD 于点E , 在Rt ABE ∆中,30AE =米,30BAE ∠=︒, 30tan30103BE ∴=⨯︒=(米),(36103)AC ED BD BE ∴==-=-(米).∴甲楼高为(36103)-米.故选:D .【点评】此题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题,求出BE 的长度,难度一般. 9.(3分)【分析】分两种情况讨论,当0k >时,分析出一次函数和反比例函数所过象限;再分析出0k <时,一次函数和反比例函数所过象限,符合题意者即为正确答案.【解答】解:①当0k >时,1y kx =+过一、二、三象限;ky x=过一、三象限;②当0k <时,1y kx =+过一、二、四象象限;ky x=过二、四象限. 观察图形可知,只有C 选项符合题意. 故选:C .【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象,熟悉两函数中k 和b 的符号对函数图象的影响是解题的关键. 10.(3分)【分析】设月平均增长的百分率是x ,则该超市二月份的营业额为100(1)x +万元,三月份的营业额为2100(1)x +万元,根据该超市第一季度的总营业额是3990万元,即可得出关于x 的一元二次方程,此题得解.【解答】解:设月平均增长的百分率是x ,则该超市二月份的营业额为100(1)x +万元,三月份的营业额为2100(1)x +万元,依题意,得210001000(1)1000(1)3990x x ++++=. 故选:B .【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 11.(3分)【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号,由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对各个结论进行判断. 【解答】解:由抛物线的开口方向向上可推出0a >, 与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上可推出10c =-<, 对称轴为102bx a=->>,0a >,得0b <, 故0abc >,故①正确; 由对称轴为直线12bx a=->,抛物线与x 轴的一个交点交于(2,0),(3,0)之间,则另一个交点在(0,0),(1,0)-之间, 所以当1x =-时,0y >, 所以0a b c -+>,故②错误;抛物线与y 轴的交点为(0,1)-,由图象知二次函数2y ax bx c =++图象与直线1y =-有两个交点,故210ax bx c +++=有两个不相等的实数根,故③错误; 由对称轴为直线2b x a =-,由图象可知122b a<-<, 所以42a b a -<<-,故④正确. 故选:D .【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系,解答此类问题的关键是掌握二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定,解题时要注意数形结合思想的运用. 12.(3分)【分析】观察图形可以看出14A A --;58A A ---;⋯每4个为一组,由于201945043÷=⋯,2019A 在x 轴负半轴上,纵坐标为0,再根据横坐标变化找到规律即可解答.【解答】解:观察图形可以看出14A A --;58A A ---;⋯每4个为一组, 201945043÷=⋯2019A ∴在x 轴负半轴上,纵坐标为0, 3A 、7A 、11A 的横坐标分别为0,2-,4-, 2019A ∴的横坐标为1(20193)10082--⨯=-. 2019A ∴的坐标为(1008,0)-.故选:A .【点评】本题考查了等腰直角三角形、点的坐标,主要是根据坐标变化找到规律,再依据规律解答.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分,不需写出解答过程请将答案直接写在答题卡相应位置上13.(4分)已知一组数据8,3,m ,2的众数为3,则这组数据的平均数是 4 . 【分析】直接利用众数的定义得出m 的值,进而求出平均数; 【解答】解:一组数据8,3,m ,2的众数为3, 3m ∴=,∴这组数据的平均数:833244+++=, 故答案为:4.【点评】此题考查了平均数和众数,解题的关键是正确理解各概念的含义.14.(4分)如图,已知8AB cm =,3BD cm =,C 为AB 的中点,则线段CD 的长为 1 cm .【分析】先根据中点定义求BC 的长,再利用线段的差求CD 的长. 【解答】解:C 为AB 的中点,8AB cm =, 1184()22BC AB cm ∴==⨯=, 3BD cm =,431()CD BC BD cm ∴=-=-=,则CD 的长为1cm ; 故答案为:1.【点评】本题考查了两点的距离和线段中点的定义,熟练掌握线段中点的定义,利用数形结合求解是解答此题的关键.15.(4分)规定:在平面直角坐标系xOy 中,如果点P 的坐标为(,)a b ,那么向量OP 可以表示为:(,)OP a b =,如果OA 与OB 互相垂直,1(OA x =,1)y ,2(OB x =,2)y ,那么12120x x y y +=.若OM 与ON 互相垂直,(sin ,1)OM α=,(2,3)ON =-,则锐角α∠=60︒ .【分析】根据平面向量垂直的判定方法得到:2sin 1(3)0α+⨯-=,结合特殊角的三角函数值解答.【解答】解:依题意,得2sin 1(3)0α+⨯=, 解得3sin α=α是锐角, 60α∴=︒.故答案是:60︒.【点评】本题考查平面向量,点的坐标,平面向量垂直的条件等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.16.(4分)如图,已知动点A 在函数4(0)y x x=>的图象上,AB x ⊥轴于点B ,AC y ⊥轴于点C ,延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ,延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ,直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ,当4NF EM =时,图中阴影部分的面积等于 2.5π .【分析】作DF y ⊥轴于点D ,EG x ⊥轴于G ,得到GEM DNF ∆∆∽,于是得到4DF NFGM EM==,设GM t =,则4DF t =,然后根据AEF GME ∆∆∽,据此即可得到关于t 的方程,求得t 的值,进而求解.【解答】解:作DF y ⊥轴于点D ,EG x ⊥轴于G , GEM DNF ∴∆∆∽, 4NF EM =,∴4DF NFGM EM==, 设GM t =,则4DF t =, 1(4,)A t t∴,由AC AF =,AE AB =, 4AF t ∴=,1AE t =,1EG t=,AEF GME ∆∆∽, ::AF EG AE GM ∴=, 即114::t t t t =,即2214t t =,212t ∴=,图中阴影部分的面积22190()90(4)12 2.53603602t t πππππ=+=+=, 故答案为:2.5π.【点评】本题考查了反比例函数(0)ky k x=≠系数k 的几何意义,扇形的面积,也考查了相似三角形的判定与性质.三、解答题:本大题共6小题,满分68分。