高三数学模拟试卷班级 学号 姓名 得分 注意：本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 . 2．集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是 . 3．二项式6)1(xx -的展开式中，系数最大的项为第 项.4．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种．5．直线()2x t t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数被双曲线221x y -=截得的弦长为 . 6．若函数2log ,0()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -= .7.已知某几何体的三视图如右图，其中主视图中 半圆直径为2，则该几何体的体积 ．8．已知数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+，则01n a C +12n a C +23n a C +L +1nn n a C += ．9．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}nS n为等差数列，且通项为1(1)2n S da n n =+-⋅．类似地，若各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T，则数列为等比数列，且通项为 ．10．设,x y 满足约束条件112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，向量(2,),(1,1)a y x m b =-=-r r ，且//a b r r ,则实数m 的最小值为 .a R ∈(1)()i a i ++a=11．已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ． 12．函数()421421x x xxk f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ．二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.13．若a r 与b c -r r 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅r r r r”是“()a b c ⊥-r r r ”的 ( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件14．将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）（A ），的最小值为 （B ） ，的最小值为（C ），的最小值为 （D ），的最小值为15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，当动点M 在底面ABCD内运动时，总有11DD A DD M ∠=∠，则动点M 在底面ABCD 内的轨迹是( )（A ）椭圆的一部分 （B ）双曲线的一部分 （C ）抛物线的一部分 （D ）圆的一部分16．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为32，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是( )（A ） 0条 （B ） 7条 （C ） 14条 （D ） 无数条sin(2)3y x π=-(,)4P t πs0s >'P 'P sin 2y x =12t =s 6π32t =s 6π12t =s 3π32t =s 3π三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B Ca b c+=. （1）证明：sin sin sin A B C =； （2）若22265b c a bc +-=，求tan B .18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，AB AC AE ==．（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.19．（本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分7分）椭圆E ：12222=+by a x ，)0(>>b a 的短轴长等于焦距，)1,0(P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=-u u u r u u u r．（1）求椭圆E 的方程；（2）O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆相交于B A ,两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r为定值？若存在，求λ的值．EAB20.（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分） 已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项的和n S ；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分10分） 对于函数()y f x =与常数a 、b ，若()()2f x af x b =+对()f x 的定义域内的任意x 都成立，则称(),a b 为函数()f x 的一个“P 数对”．设函数()y f x =的定义域为+R ，且()13f =． （1）若()1,1是()f x 的一个“P 数对”，求()()*2nf n ∈N ；（2）若()2,0-是()f x 的一个“P 数对”，且当[)1,2x ∈时()23f x k x =--，求()f x 在区间)()*1,2n n ⎡∈⎣N 上的最大值与最小值；（3）若()f x 是增函数，且()2,2-是()f x 的一个“P 数对”， 试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由:①()2n f -与22n -+()*n ∈N ； ②()f x 与22x +(()12,2,*n n x n N --⎤∈∈⎦．高三数学练习卷班级 学号 姓名 得分 注意：本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 . 2．集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是__1a ≤_ . 3．二项式6)1(xx -的展开式中，系数最大的项为第 3或5 项.4．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 48 种．5．直线()2x t t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数被双曲线221x y -=截得的弦长为.6．若函数2log ,0()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -= .【解析】为奇函数，所以，即．7.已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆直径为2，则该几何体的体积___3242π-_．8．已知数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+，则01n a C +12n a C +33n a C +L +1nn n a C += 23n n+ ．9．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}nS n为等差数列，且通项为1(1)2n S da n n =+-⋅．类似地，若各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则数列为等比数列，且通项为121n a q-=____．10．设,x y 满足约束条件112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，向量(2,),(1,1)a y x m b =-=-r r ，且//a b r r ,则实数a R ∈(1)()i a i ++a =1-m 的最小值为 . 6-【解析】不等式对应的可行域是顶点为)2,4(),21,1(),8,1(C B A 的三角形及其内部，由//a b r r ，得2m x y =-，可知在)8,1(A 处2m x y =-有最小值6-．11．已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 55,55⎡⎤-+⎣⎦． 【解析】因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=o ，25PQ =点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足55FN MN FN -≤≤+即5555MN -≤≤+12．函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ． 解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++ 当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.13．若a r 与b c -r r 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅r r r r”是“()a b c ⊥-r r r ”的 ( C )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ A ）（A ），的最小值为 （B ） ，的最小值为（C ），的最小值为 （D ），的最小值为【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6.15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，当动点M 在底面ABCD 内运动时，总有11DD A DD M ∠=∠，则动点M 在底面ABCD 内的轨迹是( D )（A ）椭圆的一部分 （B ）双曲线的一部分 （C ）抛物线的一部分 （D ）圆的一部分解：因为满足条件的动点在底面ABCD 内运动时，动点的轨迹是以1D D 为轴线，以1D A 为母线的圆锥，与底面ABCD 的交线即圆的一部分． 16．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为32，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是( C )（A ） 0条 （B ） 7条 （C ） 14条 （D ） 无数条 【解析】如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x 2+4x ，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，所以，一共有7条抛物线，同理可得开口向上的抛物线也有7条，所以，满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是：7+7=14．sin(2)3y x π=-(,)4P t πs0s >'P 'P sin 2y x =12t =s 6π32t =s 6π12t =s 3π32t =s 3π三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B Ca b c+=. （1）证明：sin sin sin A B C =； （2）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【解析】（1）证明：由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==可知 原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+== ∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠则，两边同时乘以sin sin A B ，可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B += 由和角公式可知，()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证。