（1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限：
1) 是常数）,2) ,3) .
(2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。
（3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。
（4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。
（5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。
）。（Ⅰ）用 和 表示 ；（Ⅱ）当 时，
求 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求 的取值范围。
【例５】过点（2，0），求与曲线 相切的直线方程。
【例６】（2004全国卷二，22）已知函数 ， 。
（Ⅰ）求函数 的最大值；
（Ⅱ）设 ，证明 。
【例７】（2004广东卷，21）设函数 = ，其中常数 为整数。
（Ⅰ）当 为何值时， ；
3，无穷等比数列的公比 ，当| | 1时，各项的和 及重要应用。例如（2004年上海，4）设等比数列 （ ）的公比 ，且 = ，则
【分析】 数列 是首项为 ，公比是 的等比数列，∴ = = ，解得 =2。
4，当且仅当 时， ， 时 可有定义也可无定义。例如下列命题正确的是……………………………………………( )
（Ⅱ）定理：若函数 在[ ]上连续，且 与 异号，则至少存在一点 使 。试用上述定理证明：当整数 时，方程 =0，在[ ]内有两个实根。
【例８】溶液自深18 ，顶直径12 的圆锥形漏斗中漏入一直径为10 的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满水，已知当溶液在漏斗中之深为12 时，其水平下落的速度为1 ∕ ，问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少？
【经典题例】
【例１】求下列数列的极限：
（１） ；（２） （ ）；
（３） ；
（４）已知 ，数列{ }满足 ，若{ }的极限存在且大于零，求 的值。
【例２】求下列函数的极限：
（1） （2）
（3） （4）
【例３】求下列函数的导函数：
（１） ＝ ； （２） ＝ ；
（３） ＝ ； （４）已知 ＝ ，求 。
【例４】设 （ ）， （ +
= = 。
2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：
（2004年广东,4） …+ )的值为…（）
（ ）-1（ ）0（ ） （ ）1
【分析】这是求无穷项的和，应先求前 项的和再求极限 = ，∴原式= =-1，故选 。
（A）1,-1 （B）1,-17 （C）3,-17 （D）9,-19
9、 、 分别是定义 上的奇函数和偶函数。当 时， ，且 ，则不等式 的解集是（ ）
（ ）（-3，0） （3， ）
（ ）
10、三次函数 = 在[1，2]内恒为正值的充要条件为…………（ ）
（ ） ；
二、填空题：
11、曲线 与 在交点处的切线夹角是（以弧度数作答）；
（ ）0 1 -1；
6、设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是…………………………………………………………………（ ）
(A) (B) (C) (D)
7、函数 有极值的充要条件是……………………………（ ）
（ ） （ ）
8、(2004江苏卷，10)函数 在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是………………………………………………………………………………（ ）
【分析】 ，
∴ 在（ ， ）处的导数不存在。
7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。
8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。
12、 ，则 ；
13、已知 是 的一个三次多项式，若 = =1，
则 =
14、如图， 是一块半径为1的半圆形纸板，在 的左下端剪去一个半径为 的半圆后得图形 ，然后剪去更小的半圆（其直径为前一被剪掉半圆的半径）得图形 ， ，……， ，……，记纸板 的面积为 ，则 =
三、解答题：
15、已知函数 在定义域 上可导，设点 是函数 的图象上距离原点0最近的点。
【热身冲刺】
一、选择题：
1、下列数列极限为1的是…………………………………………………………（ ） ； ；
； 。
2、已知 ，则常数 的值为…………………………………（ ）
（ ） ；
3、 ]的值是………………………………………………（ ）
不存在；
4、若 在点 处连续，则 （ ）
5、若 为偶函数，且 存在，则……………………（ ）
( )若 ,则 ， 若 ,则 ， 若 ,则 ，(D)若 ,则 。
【分析】 ( )中 无定义，（ ）中 无定义，而(D) ， ，故 是正确的。
5，函数 在 处连续是指 ，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。
6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如 在（ ， ）处的导数存在吗？为什么？
专题十：数列的极限与函数的导数
瓶窑中学 童国才
【考点审视】
极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：
（6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。
【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对 、 、 、 型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14） =
【分析】这是 型，需因式分解将分母中的零因子消去，故