唯一性定理
静电场的基本问题：
求出在每个均匀区域内满足泊松方程，在所有分界面 上满足边值关系，在所研究的整个区域边界上满足边 界条件的电势的解
2 i
i
Sij
j
Sij
i
i
n
Sij
j
j
n
Sij
V
j S
i
Sij evn
除此之外，要完全确定V内静电场的解，还必须给出 整个区域边界S上的一些条件。
1
到底需要给定哪些条件，才能求得静电场的解，并且 解是唯一的？
Ra
(2) 介质内无自由电荷分布； (3) R=a处导体球带总电量Qf 该定解问题有唯一解。
9
1. 给出边值关系和边界条件 设左、右介质的电势分别为 1 和 2
Ñ dS Qi
Si n
根据唯一性定理，只要能找到一个满足上面定解条件 的特解，那该解就一定是该问题的唯一解。
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2. 提出尝试解
C与 0为待定系数，且 0与外球壳半径a’有关 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数
2 0 Qf 2 1 2 a2
相同
v
2
0Q f
1 2 a2
（, 右半球）
P1
v P2
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所以，由于有束缚电荷的存在，在内导体球壳两半球 面上束缚电荷与自由电荷之和是球对称的，所以电场 强度E是球对称的。
首先判断该问题是否满足唯一性定理。 1. 给出边值关系和边界条件 2. 提出尝试解 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数 4. 求电场和球壳上的电荷分布
Ñ i
Vi
i
2dV
v
Si i dS i
2 0
Vi i 2 dV
积分区域包括沿区域V的边界S上的面积分和沿各分区的分界面Sij的面积4分
在 法两向个 分均 量匀 分区 别域 相等Vi和，V同j的时分dSv界i 面d上Svj，，因由此于
和
i
的
j
i
Sij
பைடு நூலகம்
i
v dS
N2 i 1
n
j
j
n
,
i
i
n
j
j
n
i
i
n
j
j
n
3
在整个区域V的边界S上有
V
S
S
0
0
S
S
S
或者
i
j
Sij evn
S
Si
0
n S n S n S
考虑第i个均匀区Vi的界 面Si上的积分
v
Ñ Si i dS Vi i dV Vi i 2dV Vi i2dV
对所有分区Vi求和
满足给定的或 /n值。
2
证明：
设有两组不同的解和 满 足唯一性定理的条件
令
V
由 2 i , 2 i 得 2 0 （每个均匀区域Vi内） 在两均匀区域分界面上
i j , i j , i j
j S
i
Sij evn
i
Sij
j
Sij
i
i
n
Sij
j
j
n
Sij
i
i
11
因此，所求的电势为 此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解
验证
12
4. 求电场和球壳上的电荷分布 由电场和电势的关系可知，
由两介质分界面的边值关系
v v D2 D1
evn f
可得
13
讨论：
内导体球壳两半球面上的自由电荷分布不同，但E却保
持球对称性，为什么？
f
2 2
1Q f
1
2Q f
1
2 2
a2 a2
（, 左半球） （, 右半球）
？
E
2
Qf
1 2
R2
,（左半球）
2
Qf
1 2
R2
（右半球）
电场强度E的源为总电荷，包括自由电荷和束缚电荷
内导体球壳表面的束缚电荷分布：
由两介质分界面的边值关系
P evn
vv P2 P1
和
v P
2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采 用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给 定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对 于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数 学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后 验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解， 若不满足，可以加以修改。
8
解：首先判断该问题是否满足唯一性定理。 该问题中存在金属导体，根据题意： (1) R=a’处，导体接地：(xr) 0
设闭合曲面S包含的体积V内的电荷分布为ρ 且V内存在有导体，S上给定电势s或电势 的法向偏导数(/n)s
第一种类型：当每个导体上的电势 i给定时，即给出了V’所有边界上 的 或(/n)值，因而由唯一性定 理可知， V’内的电场被唯一确定。
1
2
6
第二类型：设区域V内有一些导体，给定导体之外的
电荷分布ρ，给定各导体上的总电荷Qi以及V的边界S 上的 或/n 值，则V内的电场唯一地确定。
— 唯一性定理具体指出所需给定的边界条件
V
1. 静电问题的唯一性定理 设区域V内自由电 （i）电势s
j S
i
Sij evn
荷分布为(x) ，在 V的外边界S上给定
或
（ii）电势的法向偏导数(/n)s
则V内的电场唯一地确定。
也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松
方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上
➢ 存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程
2
在第i个导体上满足总电荷条件
蜒 Ñ v v
Si Ei dS
v
dS
Si
dS Qi
Si n
Q1
和等势面条件 Si i 常量
Q2
以及在V的边界S上具有给定的s 或(/n)s值。 7
三、唯一性定理的意义
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场 强度指明了方向。
在S面上，
S
0,
或
n
S
0，故沿S的面积分为零，因此
v
Ñi Si i dS 0
i Vi i 2 dV 0
由于被积函数 i 2 0 ，因此 0
5
即在V内， =常数，因此 和 最多只相差一个 常数，但电势的附加常数对电场没有影响，即两者给出 同一个解，说明静电场是唯一的。
2、有导体存在时的唯一性定理
v D
v
0E
0
v E
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可得
E
2
Qf
1 2
R2
v
v
P 0 E
P evn
vv P2 P1
因此，内导体球壳两半球面上的总电荷密度为
f1
P1
2
1Q f
1 2 a2
1 0 Qf 2 1 2 a2
总
f
2
P2
2 2
0Q f
1 2 a2
2Q f
1 2 a2
（, 左半球）
v
Sij iii dSi
S ji
j
j
j
v dS j
i
i
n
j
j
n
v
Ñi Si i dS
N 2 i1
v
Sij iii dSi
S ji
j
j
j
v dSi
N 2
i1
Sij
ii
i
n
dSi
S ji
j j
j
n
dSi
i
0
V
j
Sij evn
S
即内部分界面的积分互相抵消
Si