2018版导数题型追根溯源
新泰一中北校 闫辉
第二讲 交点与根的分布
一、学习目标
1.交点问题转化为函数的最值问题
2.根的分布利用数形结合转化为基本的不等式问题
二、重难点
重点：交点问题
难点：交点问题
三、引入
我们知道导数可以用于研究切线、单调性、极值、最值问题，那么：
已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点，若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，则b 的取值范围为 ． 它是哪一类啦？
四、过程
【知识点一】交点（零点或其变形）
两个函数的图像有交点也就是方程组有解，但是对于超越函数我们往往解不出，那么转化为一个函数，再利用图像研究其极值和最值问题成为了一种思路。

例题1.已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = ．
A ．-2或2
B ．-9或3
C ．-1或1
D ．-3或1
例题2.（交点个数与根的分布）已知x=3是函数f(x)=aln(x+1)+2
x -10x 的一个极值点。

1）求a;
2）求函数的单调区间;
3）若直线y=b 与函数y=f(x)的图像有三个交点，求b 的取值范围.
【巩固练习】
1.若函数x e
y x a 4)1(+=-有大于零的极值点，则a 的范围为_______.
2.（2011年福建）已知a,b 为常数，且0≠a ，函数x ax b ax x f ln )(++-=，2)(=e f
1）求实数b;
2）求函数的单调区间
3）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m<M ），使得对于每一个],[M m t ∈，直线y=t 与曲线),1)((⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈=e e
x x f y 都有交点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由。

【知识点二】根的分布
二次函数根的分布主要考虑开口、对称轴、判别式、特殊点的函数值；那么利用导函数也可以研究一些特殊函数的零点（根）的分布问题。

方法：数形结合、分类讨论
例题2.（利用根的分布）已知函数x e
b ax x x x f -+++=)3()(23
1）若a=b=-3，求函数的单调区间
2）若f(x)在区间),2(),,(βα-∞单调增加，在),(),2,(+∞βα单调减小，证明6<-αβ
[巩固练习]
1.【2013学年第一学期期中杭州地区七校联考】函数32()f x x ax ax =++()x R ∈不存在极值点，则a 的取值范围是_________.
2.（转换变量后为根的分布）已知函数x x x f -=3)(
1）求曲线y=f(x)在点M （t,f(t)）处的切线方程
2）设a>0,如果过点（a,b ）可做曲线y=f(x)的三条切线，证明：-a<b<f(a)
3.已知函数)0(,22
1ln 2<--a x ax x . 1）若函数f(x)存在单调减去减，求a 的范围；
2）若21-=a 且关于x 的方程b x x f +-=2
1)(在区间[ 1 , 4 ]上恰有两个不等的实数根，求实数b 的取值范围.
五、课堂巩固
1.【2014全国1高考理第11题】已知函数32
()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）
A ．()2,+∞
B ．()1,+∞
C ．(),2-∞-
D ．(),1-∞- 2.【2014高考山东卷第20题】设函数22()(ln )x e f x k x x x
=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.
六、课后作业
1.【浙江省湖州中学2013学年第一学期高三期中考试】函数21()2ln 2
f x x x x a =
+-+在区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是_____.
2.【2014高考四川第21题】已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.
（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围。