含绝对值的函数问题处理1.（2005年江苏卷）已知a ∈R ，函数f(x)=x 2|x-a|. (I)当a=2时，求使f(x)=x 成立的x 的集合； (II)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. 解析：(I)若a=2,则有：222(2),2()2(2),2x x x f x xx x x x ìï- ï=-=íï--<ïî, ①当x ≥2时，有x 2(x-2)=x,解得x=0或x 2-2x-1=0,解得：1211x x =+=-，取11x =+x<2时，有2(2),:01x x x x x --===解得或．综上所述，当ａ=2时能使ｆ(ｘ)=ｘ成立的ｘ的集合为｛0，1，1+｝(II)对函数式进行分解得：222(),()(),x x a x af x xx a x x a x a ìï- ï=-=íï--<ïî①当x ≥a 时，设f 1(x)=x 2(x-a),则212()32,0,3a f x x ax x x ¢=-==得极值点或 a. 当a<0时,函数f(x)在区间2a 2a,(0,),(,0)33骣÷ç-ト+ ÷ç÷ç桫递增在区间递减,b.当a>0时, 函数f(x)在区间()2a 2a ,0(,),(0,)33-ト+ 递增在区间递减.②当x <a 时，设f 2(x)=-x 2(x-a),则212()32,0,3a f x x ax x x ¢=-+==得极值点或 a.当a<0时,函数f(x)在区间2a 2a,(0,),(,0)33骣÷ç-ト+ ÷ç÷ç桫递减在区间递增,b.当a>0时, 函数f(x)在区间()2a 2a ,0(,),(0,)33-ト+ 递减在区间递增.由于所求区间为[1,2],故a 按所求区间进行讨论: ①若a ≤1,则22,33a £取f 1(x)图象在x>a 部分,因函数f1(x)在区间[1,2]部分单调递增,故当x=1时取最小值,即m=f 1(1)=1-a; ②若1<a<2,因f(a)=0,224[,],333a Î当x>a 时,f 1(x)从0单调递增;当x<a 时,函数f(x)在区间[1,a]为递减或先增后减至0,故m=f(a)=0; ③若3>a ≥2, 则242,33a >函数f 2(x)在区间为先增后减,当x=23a 时取最大值,则最小值为m 1=f 2(1)=-1+a 或m 2=f 2(2)=-8+4a,下面讨论m 1与m 2的大小问题: a. 若2≤a<73,则m 1>m 2,最小值为m 2=-8+4a;b.若73≤a<3,则则m 2>m 1,最小值为m 1=-1+a.④若a ≥3, 则22,3a ³函数f2(x)在区间为递增,则当x=1时取最小值,即m=f 2(1)=-1+a.综上所述,函数f(x)在区间[1,2]的最小值m=1,10,12784,2371,331,3a a a a a a a a a ìïïï- ïïï<<ïïïïï-+?íïïïïï-+?ïïïïï-+ ïî,(其图象可通过几何画板演示得到). 2.(全品第二轮专题)已知函数f(x)=x 2-1,g(x)=a|x-1|. （I ）若|f(x)|=g(x)有两个不同的解，求a 的值；（II ）若当x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a 的取值范围． 解析：（I ）方法一：(分解因式，避免讨论)由|f(x)|=g(x)有：｜x-1|(|x+1|-a)=0, 显然，1x =已是该方程的根，从而欲使原方程有两个不同的解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个不等于1的解或两个不同的解且有一个为１，结合图形得a=0或a=2.方法二：（分类讨论）由于(1),1()(1),1a x x g x a x x ì- ïï=íï--<ïî，当x ≥1时，有x 2-1=a(x-1),解得x=1或x=a-1;当-1<x<1时，有x 2-1=a(x-1),解得x=1或x=a-1,取x=a-1;当x ≤-1时，有x 2-1=-a(x-1),解得x=1或x=-a-1,取x=-a-1.①若a=0，则方程有两根1与-1；②若2≥a>0，则-1<a-1<1,-a-1<-1,此时方程有三个根1,a-1,-a-1,则a-1,-a-1必有一个根为1,经检验只能a-1=1,此时a=2;③若a>2，方程的根只能为1与a-1,-a-1则找不到符合条件的a;④若a<0,方程只有一个根1.（II ）方法一：（分离变量法）由f(x)≥g(x)得：x 2-1≥a|x-1|⇒①当x=1时恒成立，此时ａ∈R ；②当x ≠1时，有()()111x x a x +-³-，设φ（x ）=()()1,111(1),11x x x x x x x ì+>+-ïï=íï-+<-ïî,因为当x>1时，φ（x ）>2;当x<1时，φ（x ）>-2,所以φ(x)>-2,故此时ａ≤－２.综合①②得ａ≤－２. 方法二：（函数方程思想）略．类似题： 已知函数1)(2-=x x f ，|1|)(-=x a x g .(1)若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(3)求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演算步骤．．．．．．．．）. 解答:（1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a <.（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ； ②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-， 所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤.综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥① 当1,22a a >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ② 当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124aah a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.③ 当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124aah a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④ 当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a -上递减，在[,1]2a ，[,2]2a -上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递增，在[1,2]上递减，故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =. 综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +； 当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +； 当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.3. 设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值解析：（1）当0a =时，2()||1f x x x =++为偶函数，当0a ≠时，2()||1f x x x a =+-+为非奇非偶函数；（2）当x a <时，2213()1(),24f x x x a x a =-++=-++当12a >时，m in 13()()24f x f a ==+，当12a ≤时，m in ()f x 不存在；当x a ≥时，2213()1(),24f x x x a x a =+-+=+-+当12a >-时，2m in ()()1f x f a a ==+， 当12a ≤-时，m in 13()()24f x f a =-=-+4.设函数f(x)=|x-a|-ax,其中a 为常数.(1)解不等式f(x)<0;(2)试探求函数f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值． 解析：(1)由f(x)得:2(1),(),(1),a x a x a f x a x aa x a x a ì-->ïïïï=-=íïï--+<ïïî, 由1-a=0得a=1,-1-a=0得a=-1,故将a 所在区间分为(-∞,1),[-1,1],(1,+∞)下面对a 所在区间进行讨论:①当a ∈(-∞,-1)时,1-a>0,故函数f 1(x)=(1-a)x-a 在x ≥a 部分单调递增,当x=a 时存在最小值-a 2;-1-a>0, 故函数f 2(x)=(-1-a)x-a 在x ≤a 部分单调递增,当x=a 时存在最大值-a 2,其图象为图1: 由(1-a)x-a=0得交点A,x=1a a-故要使f(x)<0,则x ∈(1a a-,+∞)②当a ∈[-1, 1]时,1-a>0,-1-a<0,由上讨论其函数图象为图2:解得其交点分别为x=1a a+,x=1a a-,故要使f(x)<0,则x ∈(1aa +,1aa-);③当a ∈(1, +∞)时,1-a<0,-1-a<0, 由上讨论其函数图象为图3:由函数f 2(x)=(-1-a)x-a 与x 轴的交点为x=1a a+,故要使f(x)<0,则x ∈(-∞,1a a+).综上所述,得: 当a ∈(-∞,-1)时, x ∈(1aa-,+∞);当a ∈[-1, 1]时, x ∈(1aa +,1aa-);当a ∈(1, +∞)时,x ∈(-∞,1a a+).X。