6 定积分及其应用
习题6.1
1. （1）e 1 （2）
13 （3）12
2. （1）24R （2）7
2
（3）0
3. （1）
1
2
1
d 1x x （2）10
2
d 3x x
（3）（i ）1
0d ()x a b a x 或
1
1
d b a
x b a
x
（ii ）1
0ln ()d e a b a x x
或 1
ln d e b
a
x x
b
a
习题6.2
1. （1）
11
2
3
d d x x
x x （2）5
5
3
2
33(ln )d (ln )d x x x x （3）2222
00
sin sin d d x x x x
x 2. （12
22,0,1
1x x x x
（2）提示：分析函数2
()1x
f x x
在0,2上的最大（小）值. 3. 提示：取()()g x f x 4. 提示：利用积分中值定理或定积分的定义证明. 5. 提示：令()()F x xf x 对()F x 在1
0,
2
上用罗尔定理。

6. 提示：证明在0,
内至少存在两点12
,使12()()0f f .
习题6.3
1. （1）(2)sin 2x x （2）6
233e cos()x x x （3）sin ln 1sincos cos 1sinsin x x x x （4）
2221
()d 2()x f t t x f x
（5）
1
()d x f t t
2. （1）2
3
（2）1 （3）1 （4）2
4 （5）1
3. 提示：利用夹逼定理.
4. 4()sin 2
1
f x x
. 5. 提示：2()y f x
6. 提示：利用
2
[()()]d 0b
a
f x t
g x x ，其中t 为任意常数.
7.（1）7
4
(221)6(21)33 （2）2 （3）
14
3
（4）
326
（5）14 （6）1
2
（7）24e
8. 提示：利用泰勒公式()
2
2a b a b f x f f
x
，位于x 与
2
a b
之间. 习题6.4
1. （1）
66315 （2）2 （3）1
6
（4）
（53
（6）121e （7）2
4 （8）3 （9）3
52
e
27
27
（10
）13ln 3
26
（11）
3
（12）
8
（13）
4
33
（14）3
ln 232
（15）3e
15
（16）1
3
（提示：222101110111x
x x x x x x e dx dx dx e e e ----=++++⎰⎰⎰） （17）1 （18）
4
π
（提示：作变换2
x t π=-） （19）2 （20）13
（21）
34 （22）当n 为偶数时：13
1222n n n n ；当n 为奇数时：13
1
123
n n n n （23）
ln 28
2. 713e
3. 提示：
22
()d ()d ()d a b b b a b a
a
f x x
f x x
f x x ，对
2
()d b a b f x x 作变换()x a b t .
4. 若f 是连续偶函数，()()d x a
F x f t t 不一定为奇函数. 例如：23
1
1()d 13
x F x x x
x 5.
1n （提示：对10()d x n n n t f x t t 作变换n n
x t
u ，用洛必达法则或导数的定义.） 6. 1
cos113
（提示：用分部积分法） 7. 提示：用分部积分法 8. (0)2f . 9.（1）2
101, 132
1
d , 10323
1
, 023
p
p p p x x p x p p p （2）411,01()22
1, 12
x x x F x x x
10. 提示：利用()tan f x x 在0,
4
的单调性.
习题6.5
1.（1）
2565 （2）1 （3）2 （4）16
3 （5）12442,6
3
3
S S （6）92 （7）238a （8）1ln 22 （9）112
2.（1）a （2）4
3
3.（1）2R （2）1ln(25)24
（3）6a （4）2
2
4. 1ln 3
2 5. 4 7. 3163
a 8. （1）2
2
x
V ，2
2
y
V （2）
5
6
（3）2
4 （4）
,33
（5）23332325,6,7x y y
a
V a V a V a
9.
2
10.
448
15
11. （1）2
2ln(21) （2）33
211113ln 93222π⎡⎛+⎛⎫
⎢ ⎪
⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
12.
222
22
2
arcsin
a b b a b a
a 13. 2560g （焦）
14. 0.5625 kg/m 2. 15. 3.675（焦） 16. 1674.667 g （焦） 17.
22503
h （焦） 18.
343
R H R H 19. 21
2
Mgh
mgh （焦）
20.
21.
2
22
k ph R k 22.
()kmM a a l ，其中k 为万有引力常数 23. 22ln 12kM a
l a l
，其中k 为万有引力常数 习题6.6
1.
21
d 21
2(21ln
)2
1
x x
用矩形公式，梯形公式和抛物线公式计算(8)n
2. 3.141592 （可利用抛物线公式计算
1
20
d 1x
x
）
3. 周长220
4
97sin d l ，用抛物线公式计算(16)n 深其近似值为22.1035.
习题6.7
1. （1）收敛，
13 （2）发散 （3）收敛，1ln 242
（43)
（5 （6312
（7）收敛，
1
2
（8）收敛，23338 （9）收敛，2
（10）收敛，
8
3 （11）收敛， （12）发散
（13）收敛，7
9
（14）收敛， （15）收敛，ln 2
3
2
（16）当1k 时发散，当1k 时，收敛于1(ln 2)1k
k
2. 提示：作积分变换1x
t
3. 2
2
e
a b
4*.（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）发散 （5）收敛 （6）收敛 （7）收敛 （8）发散 （9）收敛 （10）当1p 且1q 时收敛，其他发散. （11）收敛 （12）收敛 （13）当1n m 时收敛，当1n m 时发散
（14）当1
2p 时收敛，其他发散 （15）当3m 时收敛，当3m 时发散
（16）当12n 时收敛，其他发散.
5.（1）
1
1
(1)n n p （2）(1)p
6.（1）1
!2m （2）12122m +⎛⎫Γ=
⎪⎝⎭ （3）(1)!3m m m 7. （1）1
30
（2）111,22B n = 12!(21)!!n n n +⋅+。